长期GJR-GARCH模型预测

定义

$r_t=\mu +{\epsilon }_t$ 是资产收益率的对数数列，其中 $\mu$ 是期望收益率，${\epsilon }_t$ 是一个均值为零的白噪声过程。时间 $t$ 和时间 $t+k$ 之间的对数收益率之和可以写作：$$r_{t,t+k}=\sum _{i=1}^k{r}_{t+i}$$资产的$k$日风险价值（$\mathrm{VaR}$）的标准定义为收益率$r_{t,t+k}$分布的1%或5%分位数。V-Lab的长期风险模型采用模拟方法来计算 $\mathrm{VaR}$ 到 $k=30$ 时的 $k=365$。

估计

计算$\mathrm{VaR}$一种方法是模拟未来各自情景下的收益率分布，利用模拟结果计算 $\mathrm{VaR}$。长期风险板块的两个模型均包含了波动率模型的拟合，并针对每天新产生的历史数据调整拟合结果。之后，我们根据所估计的参数对未来一年的情形做10000次自举模拟，即在历史残差中进行随机挑选，作为模拟路径上的残差。然后我们计算10000个收益率的样本1%和5%分位数来得到 $\mathrm{VaR}$ 。最后，我们将收益率的对数值转化成算数值。

选定任意一天 $t$，$\mathrm{GJR-GARCH}$ 模型拟合历史数据得到：

$$\begin{array}{rcl}\hfill r_t& \hfill =\hfill & \sqrt{g_t}{\epsilon }_t\hfill \\ \hfill g_t& \hfill =\hfill & \omega +\alpha r_{t-1}^2+\gamma 1_{r_{t-1}<0}+\beta g_{t-1}\hfill \end{array}$$

关于估计方法的更多细节，请参考「波动率分析」下的 GJR-GARCH 模型。估计结果包括参数 $\alpha$, $\gamma$, $\beta$ 和一个历史方差数列 $g_t$。继而我们可以得到一个历史残差数列（或称历史冲击数列）${\epsilon }_t=r_t/\sqrt{g_t}$。用这个历史残差数列和估计参数，我们可以模拟10,000个收益率的未来轨迹，进而计算得到 $\mathrm{VaR}$ 值。