定义

$r_t=\mu +{\epsilon }_t$是一个资产收益率的时间序列，其中 $\mu$是期望收益率，${\epsilon }_t$一个均值为零的白噪声过程。尽管数列 ${\epsilon }_t$ 是序列不相关的，此数列并不需要相互独立。例如此数列可以存在条件异方差。 Glosten-Jagannathan-Runkle $\mathrm{GARCH}$ ($\mathrm{GJR-GARCH}$) 模型假设其条件异方差存在一个特定的参数形式。更具体地讲，我们称${\epsilon }_t~\mathrm{GJR-GARCH}$如果 ${\epsilon }_t$ 能写成 ${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$， 其中 $z_t$ 是一个标准正态分布变量，并且：

$${\sigma }_t^2=\omega +\left(\alpha +\gamma I_{t-1}\right){\epsilon }_{t-1}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2$$

其中

$$I_{t-1}≔\{\begin{array}{lr}0& \text{if }{r}_{t-1}\ge \mu \\ 1& \text{if }{r}_{t-1}<\mu \end{array}$$

估计

V-Lab利用最大对数似然法估计所有参数 $\left(\mu ,\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right)$ 。假设$z_t$ 是正态分布并不意味着收益率也服从正态分布。 即使他们的条件分布为正态分布，我们可以证明他们的无条件分布呈现超值峰度（厚尾分布）。事实上， 条件分布为正态分布的假设限制性并不强：即便真实分布并非正态分布，在相当宽松的条件下， 使用不正确的高斯似然函数而得到的最大似然估计仍是真实参数的一致估计，即“准最大似然估计”。

除了收益率的厚尾属性，$\mathrm{GJR-GARCH}$ 模型同 $\mathrm{GARCH}$模型一样，能够捕捉金融时间序列的其他特点，例如波动率聚类。即如果 $t-1$ 时的波动率很高，$t$ 时的波动率也会很高。用另一个角度可以理解为，$t-1$ 时刻的冲击也会影响到 $t$时刻的波动率。然而，如果 $\alpha +\frac{\gamma }{2}+\beta <1$，波动率本身是一个均值回归过程，并且在无条件方差的平方根$\sigma$ 附近上下波动：

$${\sigma }^2≔\text{Var}\left(r_t\right)=\frac{\omega }{1-\alpha -\frac{\gamma }{2}-\beta }$$

其中 $\frac{1}{2}$ 乘以$\gamma$ 是由于对 $z_t$做出的正态分布假设。更直观来讲，这个公式来源于假设收益率的条件分布是关于$\mu$ 对称的.

通常对模型参数的限制条件包括 $\left(\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right.>0$。$\mathrm{GARCH}$ 实际上是满足限制条件 $\gamma =0$b的 $\mathrm{GJR-GARCH}$ 模型。

预测

$r_t$ 是样本中的最后一个观测值，并且$\hat{\omega }$,$\hat{\alpha }$,$\hat{\gamma }$ 和$\hat{\beta }$分别是参数 $\omega$, $\alpha$,$\gamma$ 和 $\beta$ 的最大似然估计值。在$\mathrm{GJR-GARCH}$ 模型下，$T+h$时刻的条件方差的预测值为：

$${\hat{\sigma }}_{T+h}^2=\hat{\omega }+\left(\hat{\alpha }+\frac{\hat{\gamma }}{2}+\hat{\beta }\right){\hat{\sigma }}_{T+h-1}^2$$

因而，通过对上述公式迭代计算，我们能够对任意时间范围 $h$内的条件方差进行预测。那么，$T+h$时刻的复合波动率的预测值为：

$${\hat{\sigma }}_{T+1:T+h}=\sqrt{\sum _{i=1}^h{\hat{\sigma }}_{T+i}^2}$$

注意当 $h$值很大时，复合波动率的预测值趋近于：

$$\sqrt{h}\sqrt{\frac{\hat{\omega }}{1-\hat{\alpha }-\frac{\hat{\gamma }}{2}-\hat{\beta }}}$$

利用平方根法，根据时间范围调整相应比例，乘以 $\mathrm{GJR-GARCH}$模型计算得到的非条件波动率的估计值。同上文一样，$\frac{1}{2}$乘以 $\gamma$ 是由于我们假设收益率的条件分布是对称的。

比较GJR-GARCH和GARCH模型

$\mathrm{GJR-GARCH}$ 能够捕捉到一个 $\mathrm{GARCH}$ 模型无法描述的一个实证现象，即$t-1$ 时刻的负面冲击比正面冲击对 $t$时刻的方差有更强烈的影响。人们一度认为负面冲击导致杠杆增加，从而导致风险增加， 因而把这一不对称现象称之为杠杆效应。不过现在我们知道单纯的杠杆效应微不足道，并不能完全解释实证数据中的不对称性。 描述这种负面冲击的有效系数为 $\alpha +\gamma$。在金融时间序列中，我们普遍发现$\gamma$ 是统计显著的。

GJR-GARCH(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件方差。$\mathrm{GJR-GARCH}\left(p,q\right)$ 模型假设：

$${\sigma }_t^2=\omega +\sum _{i=1}^p\left({\alpha }_i+{\gamma }_i{I}_{t-i}\right){\epsilon }_{t-i}^2+\sum _{j=1}^q{\beta }_j{\sigma }_{t-j}^2$$

我们可以通过贝叶斯信息准则BIC（亦成为施瓦茨信息准则SIC）或赤池信息准则AIC来选择最佳模型（$p$和$q$）。前者比后者更加简洁。 V-Lab采用 $p=1$ 和$q=1$ ， 因为这通常是最适合金融时间序列的选项。