定义

考虑 $n$ 个资产收益率的时间序列，并且假设收益率是序列不相关的。 然后，我们能够定义一个零均值的白噪声的向量 ${\epsilon }_t=r_t-\mu$，其中 $r_t$ 是收益率的 $n⨯1$ 向量，$\mu$ 是期望收益率的向量。

尽管资产收益率是序列不相关的，它们可能呈现同期相关，即： $${\sum }_t≔{𝔼}_{t-1}\left[\left(r_t-\mu \right){\left(r_t-\mu \right)}^{\text{'}}\right]$$有可能不是一个对角矩阵。另外，同期方差可能会根据历史信息随时间变化。

$\mathrm{GARCH-DCC}$ 模型估计包括两个步骤。第一步解释说明条件异方差。这包括对 $n$ 个资产收益率序列 $r_t^i$，利用 $\mathrm{GARCH}$ 模型（GARCH模型）， 估计其条件波动率 ${\sigma }_t^i$ 。 设 $D_t$ 为这些条件波动率的对角矩阵，即 $D_t^{i,i}={\sigma }_t^i$ ，并且，当 $i\ne j$, $D_t^{i,j}=0$。那么，其标准化残差为：$${\nu }_t≔D_t^{-1}\left(r_t-\mu \right)$$并且注意，这些标准残差拥有单位条件波动率。现在，我们定义这个矩阵为：$$\stackrel{\_}{R}≔\frac{1}{T}\sum _{t=1}^T{\nu }_t{\nu }_t^{\text{'}}$$这叫做 Bollerslev恒定条件相关系数（CCC）（Bollerslev，1990）。

第二步包括调整Bollerslev的CCC系数来捕捉相关系数的动态， 因而这个调整后的系数叫做动态条件相关系数 ($\mathrm{DCC}$)。 因而 $\mathrm{DCC}$ 相关系数为：$$Q_t=\stackrel{\_}{R}+\alpha \left({\nu }_{t-1}{\nu }_{t-1}^{\text{'}}-\stackrel{\_}{R}\right)+\beta \left(Q_{t-1}-\stackrel{\_}{R}\right)$$因此， $Q_t^{i,j}$ 是 $t$ 时 $r_t^i$ 和 $r_t^j$ 之间的相关系数，并且你可以在V-Lab中查看对此系数绘制的图表。

估计

第一步中对 $n$ 个收益率的时间序列的 $\mathrm{GARCH}$ 模型估计都是标准的。具体关于 $\mathrm{GARCH}$ 的模型估计，请参考GARCH模型.

第二步，即 $\mathrm{DCC}$ 估计，V-Lab利用最大似然法估计两个参数 $\alpha$ 和 $\beta$ 。假设标准化残差为联合正态分布。 为了减小估计一个多维时变相关性模型的计算成本，V-Lab使用了一种被成为复合似然法的技术。 （Engle等，2007）。

$\mathrm{DCC}$ 模型捕捉了金融时间序列的一个典型实证现象：关联聚类。 如果 $t-1$ 时的相关性很强， 则 $t$ 时的相关性很可能也会很强。另一个角度可以理解为：$t-1$ 时刻的冲击也会影响到 $t$ 时刻的相关性。然而，如果 $\alpha +\beta <1$，相关性本身是一个均值回归过程， 在非条件相关性 $\stackrel{\_}{R}$ 附近上下波动。

通常对模型参数的限制条件包括 $\alpha ,\beta >0$. Though, it is possible to have $\alpha +\beta =1$时，条件相关性是一个整合随机过程。

目标方差

注意如果我们把 $\mathrm{DCC}$ 模型写成类似于 $\mathrm{GARCH}$ 模型的形式：$$Q_t=\Omega +\alpha {\nu }_{t-1}{\nu }_{t-1}^{\text{'}}+\beta Q_{t-1}$$我们必须还要估计 $\Omega$ 这个矩阵。即，除了上面提到的两个参数， 我们还要估计 $2+n\frac{n+1}{2}$ 个参数（而不是 $2+n^2$ 个参数由于 $\Omega$ 是一个对称矩阵）。那么基于模型得出的非条件相关系数为：$$\stackrel{\_}{R}=\frac{\Omega }{1-\alpha -\beta }$$注意我们实际上将 $\mathrm{DCC}$ 公式中的 $\Omega$ 替换成了 $\stackrel{\_}{R}\left(1-\alpha -\beta \right)$ ，而不是估计 $\Omega$。这个方法使公式更加简洁。 这叫做目标方差，由 Engle 和 Mezrich 于1995年提出。 这个方法在模拟多维度时变协方差或相关性模型中非常有效。

DCC(p,q)

上文中的模型有两种一般化的方法。

在第一个阶段中，用来标准化 $n$ 个收益率时间序列的每一个 $\mathrm{GARCH}$ 都可以推广成一个 $\mathrm{GARCH}\left(p,q\right)$ 模型（GARCH模型），其中每一个收益率时间序列， 基于例如，贝叶斯信息准则（BIC），又叫做施瓦茨信息准则（SIC），或者赤池信息准则（AIC）选择的 $p$ 值 和 $q$ 值都可以不同。贝叶斯信息准则比后者更加简洁。 V-Lab设定 $p=1$ 和 $q=1$ ，因为这是能够最好拟合金融时间序列的选择。

在第二个阶段，$\mathrm{DCC}$ 的推广模型能够考虑条件相关性的更多滞后项。$\mathrm{DCC}\left(p,q\right)$ 模型假设：$$Q_t=\stackrel{\_}{R}+\sum _{i=1}^p{\alpha }_i\left({\nu }_{t-i}{\nu }_{t-i}^{\text{'}}-\stackrel{\_}{R}\right)+\sum _{j=1}^q{\beta }_j\left(Q_{t-j}-\stackrel{\_}{R}\right)$$其中 $p$ 和 $q$ 能够利用信息准则来确定数值。 V-Lab设定 $p=1$ 和 $q=1$ 因为这是能够最好拟合金融时间序列的选择。