定义

用 $r_t=\mu +{\epsilon }_t$ 表示某个资 产的收益率序列，其中 $\mu$ 是该资产的期望收益率，${\epsilon }_t$ 是均值为0的白噪声序列。 ${\epsilon }_t$ 是序列不相关的，但不是独立的。例如此 数列可呈现条件异方差。广义自回归条件异方差 ($\mathrm{GARCH}$)模型假设其条 件异方差存在一个特定的参数形式。更具体地讲，我们称 ${\epsilon }_t~\mathrm{GARCH}$ 若 ${\epsilon }_t$ 满足 ${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$，其中 $z_t$ 是一个标准正态分布随机变量，并且：

$${\sigma }_t^2=\omega +\alpha {\epsilon }_{t-1}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2$$

估计

V-Lab用最大对数似然方法估计所有参数 $\left(\mu ,\omega ,\alpha ,\beta \right)$ 。假设 $z_t$ 是正态分布并不意味着资产收益率也服从正态分布 。即使其条件分布是正态分布，我们可以证明其无条件分布呈现超值峰度（厚尾分布）。事实上 ，条件分布为正态分布的假设限制性并不强：即便真实分布并非正态分布，在相当宽松的条件下 ，使用不正确的高斯似然函数而得到的最大似然估计仍是真实参数的一致估计，即“准最大似然估计”。

除了资产收益率的厚尾分布属性，$\mathrm{GARCH}$ 还能够捕捉金融时间序列的 其他现象，例如“波动率聚集”。即如果 $t-1$ 时的波动率很高，紧跟着 $t$ 时的波动率也会很高。 从另一个角度可以理解为，$t-1$ 时刻的冲击也 会影响到 $t$ 时刻的波动率。然而，如果 $\alpha +\beta <1$， 波动率本身是一个均值回归过程，并且在无条件方差的平方根 $\sigma$ 附近上下波动：

$${\sigma }^2≔\text{Var}\left(r_t\right)=\frac{\omega }{1-\alpha -\beta }$$

通常对GARCH模型参数的限制条件为 $\omega ,\alpha ,\beta >0$ 。当 $\omega =0$ 和 $\alpha +\beta =1$ 时，条件方差是一个整合随机过程 （对方差的冲击是持续的），因此这个模型被称作 $\mathrm{IGARCH}$ 模型 。人们通常用这个模型来计算风险价值($\mathrm{VaR}$)。

预测

用 $r_T$ 表示样本中的最后一个观测值 ，并且 $\hat{\omega }$, $\hat{\alpha }$ and $\hat{\beta }$ 分布是参数 $\omega$, $\alpha$ and $\beta$ 的最大似然估计值。在 $\mathrm{GARCH}$ 模型下 ， $T+h$ 时刻的条件方差的预测值为：

$${\hat{\sigma }}_{T+h}^2=\hat{\omega }+\left(\hat{\alpha }+\hat{\beta }\right){\hat{\sigma }}_{T+h-1}^2$$

因而，通过对上述公式重复迭代，我们能够对任意时间范围 $h$ 内的条件 方差进行预测。那么，$T+h$ 时刻复合波动率的 预测值为：

$${\hat{\sigma }}_{T+1:T+h}=\sqrt{\sum _{i=1}^h{\hat{\sigma }}_{T+i}^2}$$

注意当 $h$ 值很大时，这一预测值趋近于：

$$\sqrt{h}\sqrt{\frac{\hat{\omega }}{1-\hat{\alpha }-\hat{\beta }}}$$

利用平方根法，根据时间范围调整相应比例，乘以 $\mathrm{GARCH}$ 模型计算得到 的非条件波动率的估计值。

GARCH(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件方差。 $\mathrm{GARCH}\left(p,q\right)$ 模型假设：

$${\sigma }_t^2=\omega +\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{\epsilon }_{t-i}^2+\sum _{j=1}^p{\beta }_j{\sigma }_{t-j}^2$$

我们可以通过，例如贝叶斯信息准则（BIC），也可以称为施瓦茨信息准则（SIC），来选择最佳模 型($p$ and $q$)；或者通过赤池信息准则 （AIC）来选择。 前者比e后者更加简洁。V-Lab采用 $p=1$ and $q=1$ 因为这通常是最 适合金融时间序列的选项。