V-Lab: 曲线-GARCH模型波动性分析文献

曲线-GARCH模型

定义

$r_{t} = μ + ε_{t}$ 是一个资产收益率的时间序列，其中 $μ$ 是期望收益率， $ε_{t}$ 是一个均值为零的白噪声过程。尽管数列 $ε_{t}$ 是序列不相关的，此数列并不需要相互独立。例如此数列可以存在条件异方差。 $Spline-GARCH$ 模型假设其条件异方差存在一个特定的参数形式。更具体地讲，我们称 $ε_{t} ~ Spline-GARCH$ 如果 $ε_{t}$ 能写成 $ε_{t} = \sqrt{σ_{t}^{2} τ_{t}} z_{t}$ ，其中 $z_{t}$ 是一个标准正态分布变量，并且：

σ_{t}^{2} = ω + α ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}

是 $GARCH$ 模型通常的设定，同时：

τ_{t} = exp (\sum_{i = 1}^{k} ϕ_{i} {(t - t_{i})}^{2})

是二次样条的指数形式，包括 $k$ 个纽结 $(t_{1} t_{2} ... t_{k}$ 。 $τ_{t}$ 的作用是捕捉波动率的低频率变化，例如季节性和趋势。我们假设扭结是等距分布的，并通过最小化贝叶斯信息准则BIC（亦称为施瓦茨信息准则SIC）来选择纽结的数量 $k$ 。

估计

V-Lab利用最大对数似然法估计所有参数 $(μ ω α β and ϕ_{1} ... ϕ_{k})$ 。假设 $z_{t}$ 是正态分布并不意味着收益率也服从正态分布。即使他们的条件分布为正态分布，我们可以证明他们的无条件分布呈现超值峰度（厚尾分布）。事实上，条件分布为正态分布的假设限制性并不强：即便真实分布并非正态分布，在相当宽松的条件下，使用不正确的高斯似然函数而得到的最大似然估计仍是真实参数的一致估计，即“准最大似然估计”。

除了收益率的厚尾属性， $Spline-GARCH$ 模型同 $GARCH$ 模型一样，能够捕捉金融时间序列的其他特点，例如波动率聚类。即如果 $t - 1$ 时的波动率很高， $t$ 时的波动率也会很高。用另一个角度可以理解为， $t - 1$ 时刻的冲击也会影响到 $t$ 时刻的波动率。

通常对模型参数的限制条件包括 $(ω, α, β > 0$ 。 $Spline-GARCH$ 模型没有针对样条的参数 $(ϕ_{1} ... ϕ_{k}$ 的限制条件。 $GARCH$ 实际上是 $Spline-GARCH$ 模型在满足限制条件 $ϕ_{1} = ... = ϕ_{k} = 0$ 时的版本。

预测

$r_{T}$ 是样本中的最后一个观测值，并且 $\hat{ω}$ , $\hat{α}$ , $\hat{β}$ and $({\hat{ϕ}}_{1} ... {\hat{ϕ}}_{k}$ 分布是参数 $ω$ , $α$ , $β$ and $(ϕ_{1} ... ϕ_{k}$ 的最大似然估计值。

要进行样本外预测，我们需要外推模型中的样条。仅利用最后一个样本内观测值进行外推，我们便可以得到理想的结果。则V-Lab假设， $\forall h \geq 0$ :

{\hat{τ}}_{t + h} = {\hat{τ}}_{T} = exp (\sum_{i = 1}^{k} {\hat{ϕ}}_{i} {(T - t_{i})}^{2})

因此在 $Spline-GARCH$ 模型下， $T + h$ 时刻条件方差的预测值为：

{\hat{σ}}_{T + h}^{2} {\hat{τ}}_{T + h} = (\hat{ω} + (\hat{α} + \hat{β}) {\hat{σ}}_{T + h - 1}^{2}) exp (\sum_{i = 1}^{k} {\hat{ϕ}}_{i} {(T - t_{i})}^{2})

通过对上述公式迭代计算，我们能够对任意时间范围 $h$ 内的条件方差进行预测。那么， $T + h$ 时刻的复合波动率的预测值为：

{\hat{σ}}_{T + 1 : T + h} \sqrt{{\hat{τ}}_{T + 1 : T + h}} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{h} {\hat{σ}}_{T + i}^{2} {\hat{τ}}_{T + i}}

注意当 $h$ 值很大时，复合波动率的预测值趋近于：

\sqrt{h} \sqrt{\frac{\hat{ω}}{1 - \hat{α} - \hat{β}} exp (\sum_{i = 1}^{k} {\hat{ϕ}}_{i} {(T - t_{i})}^{2})}

利用平方根法，根据时间范围调整相应比例。

零斜率 Spline-GARCH 模型

零斜率 $Spline-GARCH$ 模型要求样本低频因子(即样条的指数)的斜率为零。即我们利用最大似然法来估计系数，并且针对系数存在额外的限制条件：

(2 \sum_{i = 1}^{k} ϕ_{i} (T - t_{i})) exp (\sum_{i = 1}^{k} ϕ_{i} {(T - t_{i})}^{2}) = 0

or:

\sum_{i = 1}^{k} ϕ_{i} (T - t_{i}) = 0

我们可以通过最后一个公式解得 $ϕ_{1}$ 。即利用零斜率这一限制条件，我们可以把 $ϕ_{1}$ 写成 $(ϕ_{2} ... ϕ_{k}$ 的函数。这之后当 $ϕ_{1}$ 出现在最大似然估计中，我们可以用上述公式替代。这样我们可以将一个限制性的优化过程转化成降低了一个维度的非限制性的优化过程。因而有优化过程更快且结果更加可靠。

Spline-GARCH(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件方差。 $Spline-GARCH (p, q)$ 模型假设：

σ_{t}^{2} = ω + \sum_{i = 1}^{p} α_{i} ε_{t - i}^{2} + \sum_{j = 1}^{q} β_{j} σ_{t - j}^{2}

我们可以通过贝叶斯信息准则BIC（亦成为施瓦茨信息准则SIC）或赤池信息准则AIC来选择最佳模型（ $p$ 和 $q$ ）。前者比后者更加简洁。 V-Lab采用 $p = 1$ 和 $q = 1$ ，因为这通常是最适合金融时间序列的选项。

参考文献

Engle, R. F. and J. G. Rangel, 2008. The Spline-GARCH Model for Low-Frequency Volatility and Its Global Macroeconomic Causes. Review of Financial Studies 21(3): 1187-1222. https://www.jstor.org/stable/2961959