乘法误差模型

简介

通过合适的方差代理变量来推测方差的动态是传统模型的一个替代方法。经常使用的方法代理变量包括已实现的波动率和Parkinson日波动范围估计值（Parkinson，1980）。

一个交易日内的已实现波动率可以定义为日内收益率的平方和。V-Lab计算日内收益率的使用的数据间隔为五分钟。

Parkinson日波动范围估计值定义为：

$$v_t≔\frac{1}{4\text{ln}\left(2\right)}{\left(p_{\mathrm{high},t}-p_{\mathrm{low},t}\right)}^2$$

其中 $p_{\mathrm{high},t}$ 和 $p_{\mathrm{low},t}$ 分别为$t$交易日开盘时间和闭盘时间内的对数股价的最大值和最小值。假设日内波动率为常数且无趋势，此波动范围是收益率的潜在波动率的无偏估计值。

Pre-Processing

已实现方差和日波动范围都只使用了单一交易日内开盘和闭盘之间的信息，他们都没有考虑隔夜信息。相关文献提到了一些解释隔夜信息的方法。V-Lab通过对序列乘以一个随时间变化的调整因子来修正这些方差代理变量（已实现方差或日波动范围），从而保证方差代理变量的平均值能够近似于收益率的样本方差。调整因子的计算如下：

令 $V_t$ 为$t$时的方差代理变量，也就是 $V_t$ 为$t$时的已实现方差或方差范围。并且令$V_t^e$ 为方差代理变量$V_t$的指数加权移动平均值。即：

$$V_t^e=\left(1-\lambda \right)V_{t-1}+\lambda V_{t-1}^e$$

其中 $\lambda \in \left(0,1\right)$。 类似地，令 $r_t^{2e}$ 为 $t$时的收益率的平方的指数加权移动平均，因而：

$$r_t^{2e}=\left(1-\lambda \right)r_{t-1}^2+\lambda r_{t-1}^{2e}$$

V-Lab使用 $\lambda =0.05$ 并且，V-Lab设定迭代的初始条件为 $V_1^e=V_1$ 和 $r_1^{2e}=r_1^2$.

然后，调整因子 $c_t$ 定义为：

$$c_t≔\frac{r_t^{2e}}{V_t^e}$$

最后，调整后的方差代理变量 $v_t$ 为：

$$v_t≔c_t{V}_t$$

从现在起，当我们提到方差代理变量，我们是指调整后的方差代理变量 $v_t$，我们在接下来的部分使用该符号表示。

定义

$v_t={\mu }_t{\epsilon }_t$是一个方差代理变量（例如：已实现方差或日波动范围）的时间序列，其中${\epsilon }_t~\mathrm{i.i.d.} D\left(1,{\sigma }_{\epsilon }^2\right)$ 和 $D$ 是任一单位均值和方差${\sigma }_{\epsilon }^2$的非负分布。因而，${\mu }_t≔{𝔼}_{t-1}\left[v_t\right]$是方差代理变量的条件均值。$v_t$.

尽管方差代理变量$v_t$的误差项为序列不相关，时间序列不需要相互独立。例如，其条件均值或条件均值的幂次方可以依赖于过去信息。乘积误差模型($\mathrm{MEM}$) 假设这种相关性存在一种特定的参数形式。具体来讲，我们说$v_t~\mathrm{MEM}$ 如果其满足：

$${\mu }_t=\omega +\alpha v_{t-1}+\beta {\mu }_{t-1}$$

估计

V-Lab假设基本误差项 ${\epsilon }_t$ 是卡方分布，即$D\equiv {\chi }_{\left(1\right)}^2$注意这不意味着方差代理变量（已实现方差或日波动范围）$v_t$ 也是卡方分布。尽管其条件分布是卡方分布，其非条件分布可能会更加复杂。事实上，假设其条件分布为卡方分布并非是限制性的，因为我们能够利用最大似然法来估计其参数。更一般的情况下，我们也可以假设其条件分布满足Gamma分布，并且其参数也可以通过最大似然法来估计。这一假设更广泛因为Gamma分布包含卡方分布和指数分布。

注意利用$\mathrm{MEM}$模型来模拟方差代理变量（已实现方差或日波动范围）能够捕捉金融时间序列的一个典型特点：方差（或波动率）聚类。如果$t$时的方差很高，$t-1$时的方差也会很高。另一种方式来理解：$t-1$ 时的冲击也会影响到$t$时刻的方差值。尽管如此，如果$\alpha +\beta <1$，这个方差代理变量是均值回归过程，其均值围绕以下数值波动：

$$v≔\frac{\omega }{1-\alpha -\beta }$$

即$\mathrm{MEM}$模型估计的非条件方差代理变量值。

通常对模型参数的限制条件为 $\omega ,\alpha ,\beta >0$。 尽管有可能存在 $\omega =0$ 和 $\alpha +\beta =1$；条件方差代理变量是一个整合随机过程（对方差的冲击是持续的）。

预测

令 $v_T$ 为样本中的最后一个观测值，以及 $\hat{\omega }$, $\hat{\alpha }$, $\hat{\beta }$ 分布为参数 $\omega$, $\alpha$, $\beta$ 的最大似然估计值。$\mathrm{MEM}$ 模型意味着在时刻$T+h$方差代理变量（已实现方差或日波动范围）的条件期望为：

$${\hat{\mu }}_{T+h}=\hat{\omega }+\left(\hat{\alpha }+\hat{\beta }\right){\hat{\mu }}_{T+h-1}$$

通过对上面的公式迭代计算，我们能够在任意时间范围$h$内预测方差代理变量的条件期望。那么，$T+h$时刻的符合波动率的代理变量的预测值为：

$${\hat{\sigma }}_{T+1:T+h}^{\left(\mu \right)}=\sqrt{\sum _{i=1}^h{\hat{\mu }}_{T+i}}$$

注意当 $h$值很大时，这一预测值趋近于：

$$\sqrt{h}\sqrt{\frac{\hat{\omega }}{1-\hat{\alpha }-\hat{\beta }}}$$

利用平方根法和时间范围调整比例，乘以利用$\mathrm{MEM}$ 模型计算的方差代理变量的非条件期望的预测值的平方根。

不对称乘积误差模型（Asymmetric MEM Model）

不对称$\mathrm{MEM}$ ($\mathrm{Asy-MEM}$)，同$\mathrm{GJR-GARCH}$模型一样，能够捕捉一个典型特点，即$t-1$ 时刻的负面冲击比正向冲击对$t$时刻的方差代理变量值有更强的影响。这一不对称性也叫做杠杆效应，因为人们认为风险的增加是来自于负面冲击。不过最近这种效应已经微不足道。$\mathrm{Asy-MEM}$ 的公式为：

$${\mu }_t=\omega +\left(\alpha +\gamma I_{t-1}\right)v_{t-1}+\beta {\mu }_{t-1}$$

其中 $\gamma >0$，并且：

$$I_{t-1}≔\{\begin{array}{lr}0& \text{if }{r}_{t-1}\ge 0\\ 1& \text{if }{r}_{t-1}<0\end{array}$$

其中$r_t$ 是时刻的资产收益率$t$。因而，描述负面冲击的有效系数为 $\alpha +\gamma$。在金融时间序列中，我们发现 $\gamma$ 普遍是正值且在统计上显著。注意到 $\mathrm{MEM}$ 是 $\mathrm{Asy-MEM}$在限制条件$\gamma =0$.

MEM(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件方差。$\mathrm{MEM}\left(p,q\right)$ 模型假设：

$${\mu }_t=\omega +\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{v}_{t-i}+\sum _{j=1}^q{\beta }_j{\mu }_{t-j}$$

我们可以通过，例如贝叶斯信息准则（BIC），也可以称为施瓦茨信息准则（SIC），来选择最佳模型($p$ 和 $q$)；或者通过赤池信息准则（AIC）来选择。 前者比后者更加简洁。V-Lab采用 $p=1$ 和 $q=1$ 因为这通常是最适合金融时间序列的选项。

对$\mathrm{Asy-MEM}$模型我们也可以做类似的。