GAS-GARCH学生T分布模型

定义

用$r_t=\mu +{\epsilon }_t$表示某资产收益率的时间序列，其中$\mu$代表该资产的期望收益率，${\epsilon }_t$是均值为0的白噪声过程。尽管数列${\epsilon }_t$是序列不相关的，此数列并不需要相互独立。例如此数列可能存在条件异方差性。在金融计量经济建模中，我们常允许某些模型参数随时间变化来刻画这种条件异方差性。例如，在GARCH模型及其拓展模型中，条件方差（可视为模型参数）是滞后内生变量以及当前与滞后外生变量的函数。Creal, Koopman, and Lucas (2013)对此进行了延伸，提出了广义自回归得分函数模型(Generalized Autoregressive Score, GAS模型)，允许模型参数随着对数似然函数的得分函数变化而变化。更具体地来讲，若${\epsilon }_t$服从如下以观察值为基础的密度函数，我们称之为GAS模型：$${\epsilon }_t~p\text{(}{\epsilon }_t\text{|}{f}_t,{ℱ}_t\text{;}\theta \text{)}\text{(}1\text{)}$$其中$f_t$代表模型中随时间可变的模型参数，${ℱ}_t$代表$t$时刻的信息集，而$\theta$代表不随时间变化的静态参数。$f_t$的更新机制应用了得分函数，并采取了熟悉的自回归形式：$$f_{t+1}=\omega +\alpha s_t+\beta f_t$$$$s_t=S_t\cdot {\mathrm{\∇}}_t$$$${\mathrm{\∇}}_t=\frac{\partial \text{ln}p\text{(}{\epsilon }_t\text{|}{f}_t,{ℱ}_t\text{;}\theta \text{)}}{\partial f_t}$$$$S_t={I^{-1}}_{t\text{|}t-1}$$$$I_{t\text{|}t-1}={𝔼}_{t-1}\text{[}{\mathrm{\∇}}_t{{\mathrm{\∇}}^{\text{'}}}_t\text{]}$$GAS模型涵盖了许多以观察值为基础对模型参数进行更新的金融时间序列模型。在V-Lab, 我们将上述抽象框架中随时间变化的参数$f_t$细化为条件方差，从而构造出一个与一般的GARCH十分相似的模型，我们称之为GAS-GARCH模型。具体来说，我们称${\epsilon }_t~\text{GAS-GARCH-}t$，当且仅当可以写出${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$，其中$z_t$服从$t$分布，自由度为$v$，并经缩放使方差为1，$f_t={\sigma }_t^2$为随时间变化的方差。在$z_t$的分布假设下，上述一般形式可推导出如下更新公式： $$f_{t+1}=\omega (1-\beta )+\alpha \left(\frac{v+3}{v}\right)\left[{\left(1+\frac{{{\epsilon }_t}^2}{(v-2)f_t}\right)}^{-1}\left(\frac{v+1}{v-2}\right){{\epsilon }_t}^2-f_t\right]+\beta f_t\text{(}2\text{)}$$V-Lab将截距写为$\omega (1-\beta )$，因此$\omega$是方差的长期水平，即参数估计中报告的ω值。

估计

V-Lab利用最大对数似然估计法估计所有参数$\mathrm{(\omega ,\alpha ,\beta ,v)}$。V-Lab设定$\mu =0$，即误差项就是收益率本身，不减去均值。误差序列$z_t$服从$t$分布，直接刻画了收益率序列的厚尾特性。我们将在下面比较GAS-GARCH与GARCH模型的章节中对这一分布假设进行更多讨论。同时，GAS-GARCH-$t$模型同GARCH模型一样，能够捕捉金融时间序列的其他特点，例如波动率聚类。如果$t$时的波动率很高，$t-1$时的波动率也会较高。用另一种方式可以理解为，在$t-1$时的冲击也会影响到$t$.

预测

令$r_T$为样本中的最后一个观测值，同时用$\hat{\omega },\hat{\alpha },\hat{\beta }$ and $\hat{v}$为模型参数$\omega ,\alpha ,\beta$ and $v$的最大似然估计值。一步预测${\hat{\sigma }}_{T+1}^2$即为将这些估计值代入更新方程(2)并取$t=T$所得的结果（收益率为零时的情况见“零收益率”一节）。在模型设定下，标准化得分的期望值为零，因此在$T+h$时（$h\ge 2$）的条件方差预测值为：$${\hat{\sigma }}_{T+h}^2=\hat{\omega }(1-\hat{\beta })+\hat{\beta }{\hat{\sigma }}_{T+h-1}^2$$因此，预测值向$\hat{\omega }$回归，差距每天按因子$\hat{\beta }$缩小。那么$T+h$时的复合波动率的预测值为：$${\hat{\sigma }}_{T+1\text{:}T+h}=\sqrt{\sum _{i=1}^h{\hat{\sigma }}_{T+i}^2}$$

零收益率

交易清淡的资产经常出现收益率恰好为零的交易日，原因是价格没有成交或没有变化。用学生$t$分布密度拟合这些零值时，可以把零点处的峰值变得越来越高、越来越窄，从而无限提高似然。其做法是把$v$推向其下界2，而在该下界处分布的方差会发散。参照Sucarrat和Grønneberg（2022），V-Lab将恰好为零的收益率视为单独的事件。收益率$r_t$以概率$\pi$为零，否则按上文所述变动。因此，方差$f_t$是在价格发生变动的条件下收益率的方差。

更新方程(2)只在非零收益率之后使用。零收益率不包含可供学习的冲击，因此当$r_t=0$时，方差向其长期水平$\omega$回归：$$f_{t+1}=\omega (1-\beta )+\beta f_t$$连续超过21个零收益率（例如停牌）意味着价格没有报价。从第22个连续零收益率开始，方差保持在最后的取值，直到价格再次变动：$$f_{t+1}=f_t$$

对数似然只对收益率不为零的交易日求和，因为$\pi$可以从似然中分离出来。稳健标准误同样不包含零收益率的交易日。

V-Lab发布的波动率（包括拟合序列和预测）是收益率本身的波动率，其中考虑了收益率为零的可能性。第$t$日发布的年化波动率，即对第$t+1$日的预测，为：$$\sqrt{252(1-{\pi }_t)f_{t+1}}$$其中${\pi }_t$是截至第$t$日的最近250个收益率中零收益率所占的比例。属于连续超过21个零收益率的游程（游程长度计算至第$t$日）的零值不计入${\pi }_t$，因为它们说明价格没有报价，而不能说明价格多久变动一次。如果窗口中的每个收益率都属于这样的游程，${\pi }_t$保持前一日的取值。在序列不足250个收益率时，缺少的交易日按非零收益率计算。对于没有零收益率的序列，${\pi }_t=0$，结果不变。

预测也按同样方式调整。收益率在$T+h$时的方差预测值为$(1-{\pi }_T){\hat{\sigma }}_{T+h}^2$，复合波动率由这些调整后的预测值计算得出。一步预测遵循上述规则，因此在零收益率之后不包含得分项。如果样本以连续超过21个零收益率结束，则所有预测期的预测值都保持为$(1-{\pi }_T)f_T$。

比较GAS-GARCH和GARCH模型

若误差项$z_t$服从标准正态分布，则应用GAS模型的一般公式，我们可发现GAS-GARCH的条件方差更新公式变为： $$f_{t+1}=\omega (1-\beta )+\alpha \left({{\epsilon }_t}^2-f_t\right)+\beta f_t\text{(}3\text{)}$$这与标准GARCH(1,1)模型中条件方差的表达式完全等价：$$f_{t+1}={\omega }^{*}+{\alpha }^{*}{{\epsilon }_t}^2+{\beta }^{*}{f}_t,f_t={{\sigma }_t}^2\text{(}4\text{)}$$其中，${\omega }^{*}=\omega (1-\beta )\text{,}{\alpha }^{*}=\alpha \text{, and}{\beta }^{*}=\beta -\alpha$均为未知参数，并需满足某些限制条件(具体条件请参见GARCH模型的说明文件)。当$v^{-1}=0$时，$t$分布退化为正态分布，(2)退化为(3)。但(2)中的递归形式与在(1)中应用了$t$分布密度函数但采用(4)作为更新公式的GARCH-$t$模型有着显著的不同。(2)右手边第二项的分母使得在自由度 $\left|{\epsilon }_t\right|$小于正无穷的所有情况下，大的绝对误差所导致的条件方差升上都小于GARCH-$v$模型中的上升幅度。这一规律的经济直觉十分清晰：若我们在建模时假设误差项来自一个厚尾分布，则大的绝对误差并不一定会导致条件方差的上升。正因为此，当误差项服从${\epsilon }_t$分布时，GAS-GARCH模型的更新机制与GARCH模型有着显著的不同。$t$

GAS-GARCH(p,q)-t模型

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来刻画随时间变动的模型参数。GAS(p,q)模型假设：$$f_{t+1}=\omega +\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{s}_{t-i+1}+\sum _{j=1}^q{\beta }_j{f}_{t-j+1}$$在GAS-GARCH-$t$的具体形式下，${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t\text{,}{f}_t={{\sigma }_t}^2$，并且$z_t$服从$v$分布，自由度为$t$，并经缩放使方差为1，我们可将标准化得分函数$\left\{s_{t-i+1}\right\}$的具体形式带入，得到一个与(2)形式相近但更为复杂的更新公式。我们可以通过贝叶斯信息准则BIC（又称施瓦茨信息准则SIC）或赤池信息准则AIC来选择最佳阶数p和q。一般来说，前者比后者更加简洁。V-Lab采用$p$ and $q$$p=1$ and $q=1$，因为这通常是最适合金融时间序列的选项。