指数GARCH模型

定义

考虑一个收益率时间序列$r_t=\mu +{\epsilon }_t$，其中$\mu$是期望收益率，${\epsilon }_t$是均值为零的白噪声。尽管序列之间不相关，${\epsilon }_t$不需要序列独立。例如，它可能呈现条件异方差性。指数$\mathrm{GARCH}$$\left(\mathrm{EGARCH}\right)$模型为这种条件异方差性假设了特定的参数形式。更具体地说，如果我们可以写成${\epsilon }_t~\mathrm{EGARCH}$，那么我们说${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$，其中$z_t$是标准高斯分布：

$$\text{ln}\left({\sigma }_t^2\right)=\omega +\alpha \left(\left|z_{t-1}\right|-𝔼\left[\left|z_{t-1}\right|\right]\right)+\gamma z_{t-1}+\beta \text{ln}\left({\sigma }_{t-1}^2\right)$$

估计

V-lab利用最大化对数似然法自动估计所有参数$\left(\mu ,\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right)$。假设$z_t$是正态分布并不意味着收益率服从正态分布。即使他们的条件分布为正态分布，我们可以证明他们的无条件分布呈现超值峰度（厚尾分布）。事实上，条件分布为正态分布的假设限制性并不强：即便真实分布并非正态分布，在相当宽松的条件下，使用不正确的高斯似然函数而得到的最大似然估计仍是真实参数的一致估计，即「准最大似然估计」。

除了收益率的厚尾属性，$\mathrm{EGARCH}$模型同$\mathrm{GARCH}$模型一样，能够捕捉金融时间序列的其他特点，例如波动率聚类。如果$t$时的波动率很高，$t-1$时的波动率也会很高。用另一种方式可以理解为，在$t-1$时间的冲击也会影响到$t$.

$\mathrm{EGARCH}$模型不需要对参数设定任何限制条件，因为此公式使用的是方差的对数而不是方差本身，因此方差为正的条件被自动满足，这也是$\mathrm{EGARCH}$模型主要的优势。普遍来讲，在非限制条件下使用最大似然法估计使优化速度更快并且优化结果更可靠。

预测

$r_t$为样本中的最后一个观测值，并且$\hat{\omega }$, $\hat{\alpha }$, $\hat{\gamma }$, and $\hat{\beta }$分别为$\omega$, $\alpha$, $\gamma$ and $\beta$的最大似然估计值。当$z_t$服从标准正态分布且相互独立时，我们得到：

$$𝔼\left[\text{exp}\left\{\alpha \left(\left|z_t\right|-𝔼\left(\left|z_t\right|\right)\right)+\gamma z_t\right\}\right]=\text{exp}\left(-\hat{\alpha }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\right)\left[\text{exp}\left(\frac{{\left(\hat{\gamma }+\hat{\alpha }\right)}^2}{2}\right)\Phi \left(\hat{\gamma }+\hat{\alpha }\right)+\text{exp}\left(\frac{{\left(\hat{\gamma }-\hat{\alpha }\right)}^2}{2}\right)\Phi \left(\hat{\alpha }-\hat{\gamma }\right)\right]$$

因此，指数GARCH模型中$T+h$, $h\ge 2$时的条件方差为：

$$\begin{array}{lcr}{{\hat{\sigma }}_{T+h}}^2\hfill & \hfill =\hfill & 𝔼\left[{{\sigma }_{T+h}}^2|r_T\text{,}{r}_{T-1}\text{, ...}\right]\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\left({{\sigma }_{T+1}}^2\right)}^{{\hat{\beta }}^{h-1}}\text{exp}\left\{\frac{1-{\hat{\beta }}^{h-1}}{1-\hat{\beta }}\left(\hat{\omega }-\hat{\alpha }\sqrt{\frac{2}{\pi }}\right)\right\}⨯\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \underset{i=0}{\overset{h-2}{\Pi }}\left[\text{exp}\left(\frac{{\left({\hat{\beta }}^i\hat{\gamma }+{\hat{\beta }}^i\hat{\alpha }\right)}^2}{2}\right)\Phi \left({\hat{\beta }}^i\hat{\gamma }+{\hat{\beta }}^i\hat{\alpha }\right)+\text{exp}\left(\frac{{\left({\hat{\beta }}^i\hat{\gamma }-{\hat{\beta }}^i\hat{\alpha }\right)}^2}{2}\right)\Phi \left({\hat{\beta }}^i\hat{\alpha }-{\hat{\beta }}^i\hat{\gamma }\right)\right]\end{array}$$

其中 $\Phi \left(\cdot \right)$是标准正态分布的累积分布函数。上式的证明采用了方差对数的迭代公式。

因此，通过对上述公式进行迭代计算，我们能够对任何时间范围$h$内的条件波动率进行预测。那么$T+h$时刻的复合波动率的预测值为：

$${\hat{\sigma }}_{T+1:T+h}=\sqrt{\sum _{i=1}^h{\hat{\sigma }}_{T+i}^2}$$

比较EGARCH与GARCH模型

$\mathrm{EGARCH}$模型能够捕捉一个$\mathrm{GARCH}$模型不能捕捉到的实证现象，即$t-1$时刻的负面冲击比正面冲击对$t$时刻的方差有更强烈的影响。这一不对称现象被成为杠杆效应，因为增加的风险被认为是来自于增加杠杆引起的负面冲击，不过最近这种效应已经微不足道。注意到描述负面冲击的有效系数为$\gamma -\alpha$，对比描述正向冲击的有效系数为$\gamma +\alpha$。在金融时间序列中，我们普遍观察到$\gamma$是负值且在统计上显著。

EGARCH(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件波动率。$\mathrm{EGARCH}\left(p,q\right)$模型假设：

$$\text{ln}\left({\sigma }_t^2\right)=\omega +\sum _{i=1}^p\left\{{\alpha }_i\left(\left|z_{t-i}\right|-𝔼\left[\left|z_{t-i}\right|\right]\right)+{\gamma }_i{z}_{t-i}\right\}+\sum _{j=1}^q{\beta }_j\text{ln}\left({\sigma }_{t-j}^2\right)$$

我们可以通过贝叶斯信息准则BIC（亦成为施瓦茨信息准则SIC）或赤池信息准则AIC来选择最佳模型（$p$和$q$）。前者比后者更加简洁。V-Lab采用$p=1$ and $q=1$，因为这通常是最适合金融时间序列的选项。