非对称指数乘法误差模型

简介

通过合适的方差代理变量来推测方差的动态是传统模型的一个替代方法。经常使用的方法代理变量包括已实现的波动率和Parkinson日波动范围估计值（Parkinson，1980）。

一个交易日内的已实现波动率可以定义为日内收益率的平方和。V-Lab计算日内收益率的数据频率为五分钟。

Parkinson日波动范围估计值定义为：

$$v_t≔\frac{1}{4\text{ln}\left(2\right)}{\left(p_{\mathrm{high},t}-p_{\mathrm{low},t}\right)}^2$$

其中 $p_{\mathrm{high},t}$ 和 $p_{\mathrm{low},t}$ 分别为t交易日开盘时间和闭盘时间内的对数股价的最大值和最小值$t$。假设日内波动率为常数且无趋势，此波动范围是收益率的潜在波动率的无偏估计值。

Pre-Processing

已实现方差和日波动范围都只使用了单一交易日内开盘和闭盘之间的信息，他们都没有考虑隔夜信息。相关文献提到了一些解释隔夜信息的方法。V-Lab通过对序列乘以一个随时间变化的调整因子来修正这些方差代理变量（已实现方差或日波动范围），从而保证方差代理变量的平均值能够近似于收益率的样本方差。调整因子的计算如下：

令 $V_t$ 为$t$时的方差代理变量，也就是 $V_t$ 为$t$时的已实现方差或方差范围。并且令$V_t^e$ 为方差代理变量$V_t$的指数加权移动平均值。即：

$$V_t^e=\left(1-\lambda \right)V_{t-1}+\lambda V_{t-1}^e$$

其中 $\lambda \in \left(0,1\right)$。 类似地，令 $r_t^{2e}$ 为 $t$时的收益率的平方的指数加权移动平均，因而：

$$r_t^{2e}=\left(1-\lambda \right)r_{t-1}^2+\lambda r_{t-1}^{2e}$$

V-Lab使用 $\lambda =0.05$ 并且，V-Lab设定迭代的初始条件为 $V_1^e=V_1$，$r_1^{2e}=r_1^2$.

然后，调整因子 $c_t$ 定义为：

$$c_t≔\frac{r_t^{2e}}{V_t^e}$$

最后，调整后的方差代理变量 $v_t$ 为：

$$v_t≔c_t{V}_t$$

从现在起，当我们提到方差代理变量，我们是指调整后的方差代理变量 $v_t$，我们在接下来的部分使用该符号表示。

定义

$v_t={\mu }_t{\epsilon }_t$是一个方差代理变量（例如：已实现方差或日波动范围）的时间序列，其中 ${\epsilon }_t\sim \mathrm{i.i.d.} D\left(1,{\sigma }_{\epsilon }^2\right)$ 和 $D$ 是任一单位均值和方差 ${\sigma }_{\epsilon }^2$的非负分布。因而，${\mu }_t:={𝔼}_{t-1}\left[v_{t-1}\right]$ 是 $v_t$.

尽管方差代理变量$v_t$的误差项为序列不相关，$v_t$的时间序列不需要相互独立。例如，其条件均值或条件均值的幂次方可以依赖于过去信息。不对称乘积误差模型 ($\mathrm{Asy.\; Power\; MEM}$) 假设这种相关性存在一种特定的参数形式。具体来讲，我们说 $v_t\sim \mathrm{Asy.\; Power\; MEM}$:

$${\mu }_t^{\delta }=\omega +\alpha {\left(v_{t-1}-\gamma v_{t-1}{s}_{t-1}\right)}^{\delta }+\beta {\mu }_{t-1}^{\delta }$$

其中 $\mathrm{-1}<\gamma <1$, 并且 $s_{t-1}=\mathrm{sign}\left(r_{t-1}\right)$.

估计

V-Lab假设基本误差项 ${\epsilon }_t$ 是卡方分布，即 $D\equiv {\chi }_{\left(1\right)}^2$。注意这不意味着方差代理变量（已实现方差或日波动范围）$v_t$ 也是卡方分布。尽管其条件分布是卡方分布，其非条件分布可能会更加复杂。事实上，假设其条件分布为卡方分布并非是限制性的，因为我们能够利用最大似然法来估计其参数。更一般的情况下，我们也可以假设其条件分布满足Gamma分布，并且其参数也可以通过最大似然法来估计。这一假设更广泛因为Gamma分布包含卡方分布和指数分布。

注意利用$\mathrm{Asy.\; Power\; MEM}$来模拟方差代理变量（已实现方差或日波动范围）能够捕捉金融时间序列的一个典型特点，即波动率聚集现象。如果$t-1$时的方差很高，$t$时的方差也会很高。另一种方式来理解：$t-1$ 时的冲击也会影响到$t$时刻的方差值。$\mathrm{Asy.\; Power\; MEM}$ 模型还能够捕捉Ding，Granger和Engle（1993）所提到的资产收益率的长记忆属性。具体请参考 APARCH model description 。$\mathrm{Asy.\; Power\; MEM}$ 模型，同$\mathrm{Asy.\; MEM}$ 模型一样，还能够额外捕捉到方差代理变量的不对称性。即当资产收益率为负时，其波动率比同一幅度的正资产收益率时的波动率倾向于增加。通常对$\mathrm{Asy.\; Power\; MEM}$ 模型参数的限制条件有 $\delta ,\omega ,\alpha ,\beta >0$ 和 $\mathrm{-1}<\gamma <1$.

预测

令 $v_T$ 为样本中的最后一个观测值，以及$\left(\hat{\delta },\hat{\omega },\hat{\alpha },\hat{\gamma },\hat{\beta }\right)$ 为参数 $\left(\delta ,\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right)$的最大似然估计值。$\mathrm{Asy.\; Power\; MEM}$ 模型意味着条件波动率的$\delta$次方在$T+h$时刻的条件期望是：

$${\hat{\mu }}_{T+h}^{\hat{\delta }}=\omega +{\hat{\mu }}_{T+h-1}^{\hat{\delta }}\left\{\hat{\alpha }{𝔼}_T\left[{\left({\epsilon }_{T+h-1}-\hat{\gamma }{s}_{t+h-1}{\epsilon }_{T+h-1}\right)}^{\hat{\delta }}\right]+\hat{\beta }\right\}$$

上述公式中的条件期望：

$${𝔼}_T\left[{\left({\epsilon }_{T+h-1}-\hat{\gamma }{s}_{t+h-1}{\epsilon }_{T+h-1}\right)}^{\hat{\delta }}\right]$$

是利用拟合值$\left(\hat{\gamma },\hat{\delta }\right)$ 和历史残差序列的样本内估计。这个方法还避免了对 ${\epsilon }_t$的分布做出假设。并且，通过对上面的公式迭代计算，我们能够预测已实现方差（$\hat{\delta }$次幂）在任意时间范围$h$内的条件期望。

Asymmetric Power MEM(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件波动率。$\mathrm{Asy.\; Power\; MEM}\left(p,q\right)$ 模型假设：

$${\mu }_t^{\delta }=\omega +\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{\left(v_{t-i}-{\gamma }_i{v}_{t-i}{s}_{t-i}\right)}^{\delta }+\sum _{j=1}^q{\beta }_j{\mu }_{t-j}^{\delta }$$

我们可以通过，例如贝叶斯信息准则（BIC），也可以称为施瓦茨信息准则（SIC），来选择最佳模型($p$ and $q$)；或者通过赤池信息准则（AIC）来选择。 前者比后者更加简洁。V-Lab采用 $p=1$ and $q=1$ 因为这通常是最适合金融时间序列的选项。