非对称指数ARCH模型

定义

$r_t=\mu +{\epsilon }_t$ 是一个资产收益率的时间序列, 其中 $\mu$ 是预期收益率，${\epsilon }_t$ 是一个均值为零的白噪声过程。尽管数列 ${\epsilon }_t$ 是序列不相关的，此数列并不需要相互独立。例如，Ding，Granger和Engle（1993）发现，对于不同的 $d$ 值，${\left|{\epsilon }_t\right|}^d$ 呈现出很强且持续的自相关，又或者我们可以说资产收益率有长记忆属性。通过条件异方差我们可以解释这一实证现象。不对称指数$\mathrm{ARCH}$ ($\mathrm{APARCH}$)模型假设条件异方差的指数有一特定的参数形式。更具体，如果 ${\epsilon }_t\sim \mathrm{APARCH}$ 能写成 ${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$，我们说 $z_t$ 是一个标准正态分布变量，并且：

$${\sigma }_t^{\delta }=\omega +\alpha {\left(\left|{\epsilon }_{t-1}\right|-\gamma {\epsilon }_{t-1}\right)}^{\delta }+\beta {\sigma }_{t-1}^{\delta }$$

估计

V-Lab利用最大似然法估计所有参数 $\left(\delta ,\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right)$ 。假设变量 $z_t$ 服从正态分布并不意味着收益率也服从正态分布。即使其条件分布为正态分布，我们可以证明他们的无条件分布呈现超值峰度（肥尾分布）。事实上，条件分布为正态分布的假设限制性并不强：即便真实分布并非正态分布，在相当宽松的条件下，使用不正确的高斯似然函数而得到的最大似然估计仍是真实参数的一致估计，即「准最大似然估计」。

除了收益率的厚尾分布属性，$\mathrm{APARCH}$ 模型和$\mathrm{GARCH}$ 模型一样，能够捕捉金融时间序列的其他特点，例如波动率聚集。如果 $t$时的波动率很高，$t-1$ 时的波动率也会很高。 用另一种方式可以理解成，在$t-1$ 时间的冲击也会影响到 $t$ 时的波动率。如上文所述，$\mathrm{APARCH}$ 模型能够捕捉 Ding，Granger和Engle（1993）所提到的资产收益率的长记忆属性。$\mathrm{APARCH}$ 模型，同$\mathrm{GJR-GARCH}$ 模型一样，能够额外捕捉到资产收益率波动率的不对称性。即当资产收益率为负时，其波动率比相同幅度的正资产收益率时的波动率更高。

通常对 $\mathrm{APARCH}$ 模型的参数的限制条件有 $\delta ,\omega ,\alpha ,\beta >0$ 以及 $\mathrm{-1}<\gamma <1$。V-Lab所采用的多种波动率模型事实上是 $\mathrm{APARCH}$ 模型在限制条件下的版本，这也是这些模型能够流行起来的原因之一。

预测

$r_T$ 为样本中的最后一个观测值，并且 $\left(\hat{\delta },\hat{\omega },\hat{\alpha },\hat{\gamma },\hat{\beta }\right)$ 分别为参数 $\left(\delta ,\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right)$ 的最大似然估计值。在 $\mathrm{APARCH}$ 模型下，$\hat{\delta }$ 时刻的条件波动率的 $T+h$ 指数的预测值为：

$${\hat{\sigma }}_{T+h}^{\hat{\delta }}=\hat{\omega }+{\hat{\sigma }}_{T+h-1}^{\hat{\delta }}\left\{\hat{\alpha }{𝔼}_T\left[{\left(\left|z_{T+h-1}\right|-\hat{\gamma }{z}_{T+h-1}\right)}^{\hat{\delta }}\right]+\hat{\beta }\right\}$$

其中关于变量 $z_t$,

$${𝔼}_T\left[{\left(\left|z_{T+h-1}\right|-\hat{\gamma }{z}_{T+h-1}\right)}^{\hat{\delta }}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left[{\left(1+\hat{\gamma }\right)}^{\hat{\delta }}+{\left(1-\hat{\gamma }\right)}^{\hat{\delta }}\right]2^{\frac{\hat{\delta }-1}{2}}\Gamma \left(\frac{\hat{\delta }+1}{2}\right)$$

通过对上面的公式进行迭代计算，我们能够对任何时间范围 $\hat{\delta }$ 内的条件波动率进行预测（$h$.

比较APARCH和GARCH模型

$\mathrm{APARCH}$ 模型的强大之处在于它嵌套了许多V-Lab使用的其他波动率模型。例如，我们能够通过对APARCH模型的参数设定限制条件来得到以下的波动率模型：

$\mathrm{APARCH}$ 模型的这一特性在针对波动率做假设检验时格外有用。

APARCH(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件波动率。$\mathrm{APARCH}\left(p,q\right)$ 模型假设：

$${\sigma }_t^{\delta }=\omega +\sum _{i=1}^p{\alpha }_i{\left(\left|{\epsilon }_{t-i}\right|-{\gamma }_i{\epsilon }_{t-i}\right)}^{\delta }+\sum _{j=1}^q{\beta }_j{\sigma }_{t-j}^{\delta }$$

我们可以通过，例如贝叶斯信息准则（BIC），来选择最佳模型 ($p$和$q$) ，也可以称为施瓦茨信息准则（SIC）；或者通过赤池信息准则（AIC）来选择。 前者比后者更加简洁。 波动率实验室（V-Lab）采用 $p=1$ 和 $q=1$ ，因为这通常是最适合金融时间序列的选项。