定义

用 $r_t=\mu +{\epsilon }_t$ 表示某资产收益率的时间序列，其中 $\mu$ 表示该资产的期望收益率，${\epsilon }_t$ 是均值为0的白噪声序列。${\epsilon }_t$ 是序列不相关的，但不是独立的。例如此数列可以存在条件异方差。此不对称 $\mathrm{garch}$($\mathrm{agarch}$) 模型假设其条件异方差存在一个特定的参数形式。更具体地讲，我们称 ${\epsilon }_t~\mathrm{agarch}$ 如果 ${\epsilon }_t$ 能够被写成 ${\epsilon }_t={\sigma }_t{z}_t$，其中 $z_t$ 是一个标准正态分布随机变量，并且：

估计

V-lab利用最大化对数似然法估计所有参数 $\left(\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right)$ 。假设 $z_t$ 是正态分布，并不意味着收益率也服从正态分布。即使其条件分布是正态分布，我们可以证明其无条件分布呈现超值峰度（厚尾分布）。 事实上，条件分布为正态分布的假设限制性并不强：即便真实分布并非正态分布，在相当宽松的条件下，使用不正确的高斯似然函数而得到的最大似然估计仍是真实参数的一致估计，即“准最大似然估计”。 除了资产回报率的厚尾分布属性，$\mathrm{AGARCH}$ 模型，同 $\mathrm{GARCH}$模型一样，能够捕捉金融时间序列的其他特点，例如波动率聚集。如果 $t-1$ 时的波动率很高，$t$ 时的波动率也会很高。用另一种方式可以理解为，在$t-1$ 时的冲击也会影响到 $t$时的波动率。然而，如果 $\alpha +\beta <1$ ，则波动率本身是一个均值回归过程，并且在无条件方差的平方根 $\sigma$ 附近上下波动：

通常对 $\mathrm{AGARCH}$ 模型参数的限制是 $\omega ,\alpha ,\beta >0$。$\mathrm{GARCH}$ 模型实际上是 $\gamma =0$ 这个限制条件下的 $\mathrm{AGARCH}$ 模型。

预测

$r_T$ 为样本中的最后一个观测值，同时$\left(\hat{\omega },\hat{\alpha },\hat{\gamma },\hat{\beta }\right)$ 分布为参数 $\left(\omega ,\alpha ,\gamma ,\beta \right)$的最大似然估计值。则在 $\mathrm{AGARCH}$ 模型下，$T+h$ 时的条件方差的预测值为：

因此，通过对上述公式进行迭代计算，我们能够对任何时间范围 $h$ 内的条件波动率进行预测。那么$T+h$ 时复合波动率的预测值为：

注意当 $h$ 的取值很高时，复合波动率的预测值趋于：

比较AGARCH与GARCH

$\mathrm{AGARCH}$ 模型能够捕捉一个$\mathrm{GARCH}$ 模型无法描述的实证现象，即 $t-1$时刻的负面冲击比正面冲击对 $t$ 时刻的方差有更强烈的影响。 人们一度认为负面冲击导致杠杆增加，从而导致风险增加， 因而把这一不对称现象称之为杠杆效应。不过现在我们知道单纯的杠杆效应微不足道，并不能完全解释实证数据中的不对称性。Engle和Ng (1993)通过新息冲击曲线（News Impact Curve） 来描述这种不对称性。在 $\mathrm{GARCH}$ 模型中，这一曲线是以${\epsilon }_{t-1}=0$为中心对称的。在 $\mathrm{AGARCH}$模型中，这一新息冲击曲线仍是对称的，但是是以 ${\epsilon }_{t-1}=\gamma$为中心对称。上文所讨论的这类不对称影响通常伴随着 $\gamma$为正值，并且其通常具备统计显著性。

AGARCH(p,q)

上文所提到的模型可以包括更多滞后变量来描述条件波动率。$\mathrm{AGARCH}\left(p,q\right)$ 模型假设：

我们可以通过贝叶斯信息准则BIC（亦成为施瓦茨信息准则SIC）或赤池信息准则AIC来选择最佳模型 （$p$和$q$）。前者比后者更加简洁。 V-Lab采用 $p=1$ 和 $q=1$ ，因为这通常是最适合金融时间序列的选项。