V-Lab: 波动性分析文献

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$r_{t}$ 是一个资产收益率的时间序列， $t = 1, 2, 3 ... T$ 。这些收益率的样本方差被定义为：

$σ^{2} (r_{t}) = \frac{1}{T - 1} \sum_{t = 1}^{T} {(r_{t} - \bar{r})}^{2}$

其中

$\bar{r} = \frac{1}{T} \sum_{t = 1}^{T} r_{t}$

是这些收益率的样本均值。

样本方差是用整个样本 $t = 1, 2, 3 ... T$ 计算的描述性统计值。如果我们比较用前半部分样本计算的方差和用后半部分样本计算的方差，这两个值很可能不一样。这意味着，方差，或者波动率可能是随时间变化的。

直观上讲，波动率是衡量收益率在其均值上下波动大小的指标。它也是一个风险指标。因此，找到能够在任何情况计算波动率，分析其如何变化，甚至预测其未来价值的方法是非常有用的。

更正式地， $r_{t} = μ + ε_{t}$ 是一个资产收益率的时间序列，其中 $μ$ 是预期收益率， $ε_{t}$ 是一个均值为零的白噪声过程。尽管数列 $ε_{t}$ 是序列不相关的，此数列并不需要相互独立。例如，此数列的方差可以随时间变化，我们称其存在条件异方差。这意味着，我们可以基于历史波动率和其他条件变量对其未来波动率可以进行预测。

为了进行波动性分析，我们需要设定其相关关系，广义自回归条件异方差 $(GARCH)$ 模型就是一个例子。

典型实证现象

有些现象能够在几乎所有收益率的时间序列中观察到。一个好的条件异方差模型要能够捕捉大部分实证现象。在这个部分，我们列出在波动性分析中最知名典型实证现象。

波动率聚类

如果 $t - 1$ 时的波动率很高， $t$ 时的波动率也很可能会很高。即，在 $t - 1$ 时的冲击不仅会增加 $t - 1$ 时的波动率，也会影响到 $t$ 时的波动率。换句话说，市场在某些时期较为波动，在其他时间更为平静。波动率特征按照时间集中分类。 $GARCH$ 类模型能够很好地捕捉这一现象。事实上，这些模型更准确地来说，是衡量 $t$ 时的波动率是如何依赖历史波动率 (和其他可能的条件变量）。

肥尾现象

收益率的时间序列通常呈现肥尾分布，又叫做超额峰度，或者尖峰。也就是说，它们的峰度（用方差的平方根标准化的第四中心矩）通常都大于3（高斯随机变量的峰度为3）。事实上，一种流行的检验正态分布假设的方法，Jarque-Bera测试，能够同时测试此分布是否是对称的以及其峰度是否等于3。

如果收益率是肥尾分布的，则极端事件（非常高或非常低的回报率）的发生概率会高于收益率分布满足正态（高斯）分布时其发生的概率。

大部分波动率模型，例如GARCH 模型会造成收益率呈现肥尾分布，不管真正的潜在冲击是正态分布还是肥尾分布。在估计时，我们通常假设潜在冲击服从正态分布。在样本量很大时，即使真实分布不是高斯，模型通常也能给出合适的估计值。这些估计值为最大似然估计值，并且能够在相对宽松的限制条件下给出一致的估计。

不对称性

有一个普通 $GARCH$ 模型不能捕捉的实证现象是 $t - 1$ 时刻的负面冲击比正面冲击对 $t$ 时刻的方差有更强烈的影响。尽管如此， $GARCH$ 模型能够很容易地调整扩充从而捕捉到这种不对称性。类似的例子有门限 $GARCH$ （ $TGARCH$ ）模型，, 不对称 $GARCH$ （ $AGARCH$ ）模型和指数 $GARCH$ $（ EGARCH)$ ）模型。

这一不对称性过去被成为杠杆效应，因为增加的风险被认为是来自于负面冲击所引起杠杆的增加，但是限制人们认识到这个效应不能解释所有现象，并且风险规避是一个重要的机制。

广义自回归条件异方差（GARCH）模型

$σ_{t}^{2} = ω + α ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$

GJR-GARCH模型

$σ_{t}^{2} = ω + (α + γ I_{t - 1}) ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$

指数GARCH模型

$ln (σ_{t}^{2}) = ω + α (|z_{t - 1}| - 𝔼 [|z_{t - 1}|]) + γ z_{t - 1} + β ln (σ_{t - 1}^{2})$

非对称指数ARCH模型

$σ_{t}^{δ} = ω + α {(|ε_{t - 1}| - γ ε_{t - 1})}^{δ} + β σ_{t - 1}^{δ}$

非对称GARCH模型

$σ_{t}^{2} = ω + α {(ε_{t - 1} - γ)}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$

曲线-GARCH模型

$σ_{t}^{2} = ω + α ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$ $ε_{t} = \sqrt{σ_{t}^{2} τ_{t}} z_{t}, τ_{t} = exp (\sum_{i = 1}^{k} γ_{i} {(t - t_{i})}^{2})$

零斜率曲线-GARCH模型

$σ_{t}^{2} = ω + α ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$ $ε_{t} = \sqrt{σ_{t}^{2} τ_{t}} z_{t}, τ_{t} = exp (\sum_{i = 1}^{k} γ_{i} {(t - t_{i})}^{2})$

乘法误差模型

$μ_{t} = ω + α v_{t - 1} + β μ_{t - 1}$ $v_{t} ≔ \frac{1}{4 ln (2)} {(p_{high, t} - p_{low, t})}^{2}$

非对称乘法误差模型

$μ_{t} = ω + (α + γ I_{t - 1}) v_{t - 1} + β μ_{t - 1}$ $v_{t} ≔ \frac{1}{4 ln (2)} {(p_{high, t} - p_{low, t})}^{2}$

非对称指数乘法误差模型

$μ_{t}^{δ} = ω + α {(v_{t - 1} - γ I_{t - 1} v_{t - 1})}^{δ} + β μ_{t - 1}^{δ}$ $v_{t} ≔ \frac{1}{4 ln (2)} {(p_{high, t} - p_{low, t})}^{2}$

GAS-GARCH学生T分布模型

$f_{t + 1} = ω + α (\frac{v + 3}{v}) [{(1 + \frac{{ε_{t}}^{2}}{(v - 2) f_{t}})}^{-1} (\frac{v + 1}{v - 2}) {ε_{t}}^{2} - f_{t}] + β f_{t}$

MF2-GARCH

$σ_{t}^{2} = (1 - α - γ / 2 - β) + (α + γ I_{t - 1}) \frac{ε_{t - 1}^{2}}{τ_{t - 1}} + β σ_{t - 1}^{2}$ $τ_{t} = λ_{1} + λ_{2} V_{t - 1}^{(m)} + λ_{3} τ_{t - 1}, V_{t - 1}^{(m)} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{m} \frac{ε_{t - j}^{2}}{σ_{t - j}^{2}}$

参考文献

Bollerslev, Tim, 1986, “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity”, Journal of Econometrics

Engle, R. F. 1982, “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation”, Econometrica, pp987-1008

Engle, R. F. and Andrew Patton, 2001, “What Good is a Volatility Model?,”, Quantiative Finance V1N2, pp237-245

Engle, R. F., 2009. Anticipating Correlations: A New Paradigm for Risk Management. Princeton University Press.

Tsay, R. S., 2005. Analysis of Financial Time Series — 2nd Ed. Wiley-Interscience.

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典型实证现象

波动率聚类

肥尾现象

不对称性

广义自回归条件异方差（GARCH）模型

σt2=ω+αεt-12+βσt-12

GJR-GARCH模型

σt2=ω+α+γIt-1εt-12+βσt-12

指数GARCH模型

ln σt2 = ω + α zt-1 - 𝔼 zt-1 + γ zt-1 + β ln σt-12

非对称指数ARCH模型

σtδ = ω + α εt−1 − γ εt−1 δ + β σt−1δ

非对称GARCH模型

σt2=ω+αεt−1−γ2+βσt−12

曲线-GARCH模型

σt2=ω+αεt-12+βσt-12εt=σt2τtzt,τt=exp∑i=1kγit-ti2

零斜率曲线-GARCH模型

σt2=ω+αεt-12+βσt-12εt=σt2τtzt,τt=exp∑i=1kγit-ti2

乘法误差模型

μt=ω+αvt-1+βμt-1vt≔14ln2phigh,t-plow,t2

非对称乘法误差模型

μt=ω+α+γIt-1vt-1+βμt-1vt≔14ln2phigh,t-plow,t2

非对称指数乘法误差模型

μtδ=ω+αvt−1−γIt-1vt−1δ+βμt−1δvt≔14ln2phigh,t-plow,t2

GAS-GARCH学生T分布模型

ft+1 = ω + α v+3v 1 + εt2 (v-2) ft -1 v+1 v-2 εt 2 - ft + β ft

MF2-GARCH

σt2=1-α-γ/2-β+α+γIt-1εt-12τt-1+βσt-12τt=λ1+λ2Vt−1m+λ3τt−1,Vt−1m=1m∑j=1mεt-j2σt-j2

参考文献

$σ_{t}^{2} = ω + α ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$

$σ_{t}^{2} = ω + (α + γ I_{t - 1}) ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$

$ln (σ_{t}^{2}) = ω + α (|z_{t - 1}| - 𝔼 [|z_{t - 1}|]) + γ z_{t - 1} + β ln (σ_{t - 1}^{2})$

$σ_{t}^{δ} = ω + α {(|ε_{t - 1}| - γ ε_{t - 1})}^{δ} + β σ_{t - 1}^{δ}$

$σ_{t}^{2} = ω + α {(ε_{t - 1} - γ)}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$

$σ_{t}^{2} = ω + α ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$ $ε_{t} = \sqrt{σ_{t}^{2} τ_{t}} z_{t}, τ_{t} = exp (\sum_{i = 1}^{k} γ_{i} {(t - t_{i})}^{2})$

$σ_{t}^{2} = ω + α ε_{t - 1}^{2} + β σ_{t - 1}^{2}$ $ε_{t} = \sqrt{σ_{t}^{2} τ_{t}} z_{t}, τ_{t} = exp (\sum_{i = 1}^{k} γ_{i} {(t - t_{i})}^{2})$

$μ_{t} = ω + α v_{t - 1} + β μ_{t - 1}$ $v_{t} ≔ \frac{1}{4 ln (2)} {(p_{high, t} - p_{low, t})}^{2}$

$μ_{t} = ω + (α + γ I_{t - 1}) v_{t - 1} + β μ_{t - 1}$ $v_{t} ≔ \frac{1}{4 ln (2)} {(p_{high, t} - p_{low, t})}^{2}$

$μ_{t}^{δ} = ω + α {(v_{t - 1} - γ I_{t - 1} v_{t - 1})}^{δ} + β μ_{t - 1}^{δ}$ $v_{t} ≔ \frac{1}{4 ln (2)} {(p_{high, t} - p_{low, t})}^{2}$

$f_{t + 1} = ω + α (\frac{v + 3}{v}) [{(1 + \frac{{ε_{t}}^{2}}{(v - 2) f_{t}})}^{-1} (\frac{v + 1}{v - 2}) {ε_{t}}^{2} - f_{t}] + β f_{t}$

$σ_{t}^{2} = (1 - α - γ / 2 - β) + (α + γ I_{t - 1}) \frac{ε_{t - 1}^{2}}{τ_{t - 1}} + β σ_{t - 1}^{2}$ $τ_{t} = λ_{1} + λ_{2} V_{t - 1}^{(m)} + λ_{3} τ_{t - 1}, V_{t - 1}^{(m)} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{m} \frac{ε_{t - j}^{2}}{σ_{t - j}^{2}}$