长期GJR-GARCH模型（期权数据）预测

定义

$r_t=\mu +{\epsilon }_t$ 是资产收益率的对数数列，其中 $\mu$ 是期望收益率，${\epsilon }_t$ 是一个均值为零的白噪声过程。时间 $t$ 和时间 $t+k$ 之间的对数收益率之和可以写作：$$r_{t,t+k}=\sum _{i=1}^k{r}_{t+i}$$资产的$k$日风险价值（$\mathrm{VaR}$）的标准定义为收益率 $r_{t,t+k}$分布的1%或5%分位数。V-Lab的长期风险模型采用模拟方法来计算 $\mathrm{VaR}$ 到 $k=30$ 时的 $k=365$。

估计

计算$\mathrm{VaR}$一种方法是模拟未来各自情景下的收益率分布，利用模拟结果计算 $\mathrm{VaR}$。长期风险板块的两个模型均包含了波动率模型的拟合，并针对每天新产生的历史数据调整拟合结果。之后，我们根据所估计的参数对未来一年的情形做10000次自举模拟，即在历史残差中进行随机挑选，作为模拟路径上的残差。然后我们计算10000个收益率的样本1%和5%分位数来得到 $\mathrm{VaR}$ 。最后，我们将收益率的对数值转化成算数值。

$\mathrm{GJR-GARCH}$等纯统计模型不一定「知道」当前的宏观经济形势，V-Lab使用$\mathrm{GJR-GARCH}$ 模型的一个变形来包含期权价格中的信息。期权作为前瞻性的金融工具，能够为预测提供直观的信息。利用期权价格信息的 $\mathrm{GJR-GARCH}$ 模型同 Engle and Rangel (2008)中的样条GARCH（$\mathrm{SPLINE-GARCH}$）模型有相同的理念。即增加一个波动率的低频影响因子，与期权市场价格中隐含波动率的期限结构相匹配。具体来说，我们对收益率建立以下模型：$$\begin{array}{rcl}\hfill r_t& \hfill =\hfill & \sqrt{q_t{g}_t}{\epsilon }_t{\epsilon }_t\text{ i.i.d with mean zero and variance 1}\hfill \\ \hfill g_t& \hfill =\hfill & (1-\theta )+\alpha z_{t-1}^2+\gamma 1_{z_{t-1}<0}+\beta g_{t-1}\hfill \\ \hfill z_t& \hfill =\hfill & \raisebox{1ex}{$r_t$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{q_t}$}\right.\hfill \\ \hfill \theta & \hfill =\hfill & \alpha +\frac{1}{2}\gamma +\beta \hfill \end{array}$$我们通过调整上面公式中的确定因子$q_t$ 来与期权市场数据中得到的隐含波动率的期限结构相匹配。记$t$时到$t+k$ 时之间的对数收益率的条件方差为$V_{t,t+k}$。根据上述模型，条件方差的表达式为： $$\begin{array}{rcl}\hfill V_{t,t+k}& \hfill =\hfill & {𝔼}_t\left[\sum _{j=1}^k{r}_{t+j}^2\right]\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sum _{j=1}^k{𝔼}_t\left[g_{t+j}\right]\hfill \\ \hfill {𝔼}_t\left[g_{t+j}\right]& \hfill =\hfill & 1+{\theta }^{j-1}\left[g_{t+1}-1\right]\hfill \end{array}$$记从$t$时到$j$时之间期权的隐含波动率为${\sigma }_{t,t+j}$。我们的目标是调整 $q_t$ 的值，使得$V_{t,t+j}={\sigma }_{t,t+j}^2$对任意$j=1,...,k$。首先，注意到我们的模型意味着： $$\begin{array}{rcl}\hfill V_{t,t+j}-V_{t,t+j-1}& \hfill =\hfill & q_{t+j}{𝔼}_t\left[g_{t+j}\right]\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & q_{t+j}\left[1+{\theta }^{j-1}\left(g_{t+1}-1\right)\right]\hfill \end{array}$$因此，我们可以如下方式构造$q_t$: $$\begin{array}{rclr}\hfill q_{t+j}& \hfill =\hfill & \frac{{\sigma }_{t,t+j}^2-{\sigma }_{t,t+j-1}^2}{1+{\theta }^{j-1}\left[g_{t+1}-1\right]},\hfill & j>1\\ \hfill q_{t+1}& \hfill =\hfill & q\hfill \end{array}$$其中 $q$ 是历史收益率序列的无条件方差。因为不是每天都有期权到期，我们通过对已有的期权隐含波动率数据进行三次样条插值来构造 ${\sigma }_{t+j}$ 序列。

为了估计收益率数列$\mathrm{GJR-GARCH}$模型中的参数，我们假设样本中的$q_t$为常数$q$。然而，在模拟试验中，V-lab使用通过期权隐含波动率构造的 $q_t$ 数列。最后，我们使用一般的长期$\mathrm{VaR}$模型预测中的自举模拟法来计算$\mathrm{GJR-GARCH}$。