动机

在2007和2008金融危机之前，标准的风险管理系统主要关注短期风险，例如1天风险价值（$\mathrm{VaR}$）或 10天 $\mathrm{VaR}$。 Engle（2009） 指出投资组合中的大部分资产的持有时间都长于这两个时间范围，因而衡量长期风险价值对风险管理异常重要。 例如，当波动率很小时，过高的杠杆看起来短期风险非常小。然而，波动率是均值回归过程，在长期会逐渐增加； 因而，短期风险度量会低估高杠杆的投资组合的风险。V-Lab的长期 $\mathrm{VaR}$部分是为了衡量波动率的均值回归现，并构造一个能够测算“风险价值会随时间变化的风险”的 $\mathrm{VaR}$ 模型。

定义

$r_t=\mu +{\epsilon }_t$ 是资产收益率的对数数列，其中 $\mu$ 是期望收益率，${\epsilon }_t$ 是一个均值为零的白噪声过程。时间 $t$ 和时间 $t+k$ 之间的对数收益率之和可以写作：$$r_{t,t+k}=\sum _{i=1}^k{r}_{t+k}$$资产的 $k$日前-$\mathrm{VaR}$ 的标准定义为收益率 $r_{t,t+k}$ 的分布的1%或5%分位数。V-Lab的长期风险度量采用基于模拟的方法来计算 $k=30$ 到 $k=365$ 时的 $\mathrm{VaR}$ 。

估计

计算 $\mathrm{VaR}$ 一种方法是模拟未来各自情景下的收益率分布，利用模拟结果计算$\mathrm{VaR}$。比较文档中描述的两个模型，波动率模型会根据每天的数据调整拟合结果。 由此产生的模型将模拟未来一年的10000种不同情景。所有模拟情景是自举的 - 即随机挑选来模拟对收益率的冲击。 然后我们计算10000个收益率的1%和5%分位数来得到 $\mathrm{VaR}$ 。最后， 我们将收益率的对数值转化成算数值。

Engle, Robert F., The Risk that Risk Will Change. Journal Of Investment Management (JOIM), Fourth Quarter 2009. https://www.joim.com/article/the-risk-that-risk-will-change/

Engle, R. F. and J. G. Rangel, 2008. The Spline-GARCH Model for Low-Frequency Volatility and Its Global Macroeconomic Causes. Review of Financial Studies 21(3): 1187-1222. https://www.jstor.org/stable/40056848

Glosten, L. R., R. Jagannathan, and D. E. Runkle, 1993. On The Relation between The Expected Value and The Volatility of Nominal Excess Return on stocks. Journal of Finance 48: 1779-1801. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1993.tb05128.x

Zakoian, J. M., 1994. Threshold Heteroscedastic Models. Journal of Economic Dynamics and Control 18: 931-955. https://doi.org/10.1016/0165-1889(94)90039-6