曲线流动性模型

定义

Amihud (2002) 发明了$t$时刻的证券非流动性度量，即$${\mathrm{ILLIQ}}_t=\frac{|R_t|}{{\mathrm{VOLD}}_t}$$其中 $R_t$是证券的收益，${\mathrm{VOLD}}_t$ 以美元为单位的交易量。此度量的经济直觉在于，证券的流动性越差，相同的交易量会对价格造成更大的影响。计算ILLIQ仅需要价格和交易量的日线数据，但ILLIQ与其他需要交易日内报价和交易数据的流动性度量高度相关，因此ILLIQ也成为最为重要、常用的流动性度量。${\mathrm{ILLIQ}}_t={\mu }_t{\tau }_t{\epsilon }_t$，其中${\epsilon }_t~\text{D(}1,{{\sigma }_{\epsilon }}^2\text{)}$，$\text{D}$为定义在非负区间内、均值为1、方差为${{\sigma }_{\epsilon }}^2$的概率分布。显然，${\mu }_t{\tau }_t={𝔼}_{t-1}\text{[}{\mathrm{ILLIQ}}_t\text{]}$是${\mathrm{ILLIQ}}_t$的条件均值。尽管ILLIQ数列呈现出序列不相关性，此数列并不需要相互独立，其条件均值可能会受滞后信息的影响。样条乘积误差模型假设如下的影响结构：$${\mu }_t=\omega +\alpha {\mathrm{ILLIQ}}_{t-1}+\beta {\mu }_{t-1}$$（这是MEM模型的一般形式），并且： $${\tau }_t=\exp \left(\sum _{i=1}^k{\phi }_i{\left(t-t_i\right)}^2\right)$$是二次样条的指数形式，包括$k$个纽结$t_1,t_2,\mathrm{.\; .\; .\; ,}{t}_k$。在一般MEM模型的基础上加入这一样条函数的作用是捕捉非流动性ILLIQ的低频率变化，例如季节性和趋势。我们假设扭结是等距分布的，并通过最小化贝叶斯信息准则BIC（亦称为施瓦茨信息准则SIC）来选择纽结的数量${\tau }_t$$k$。

估计

乘积误差模型（MEM）与ARCH/GARCH模型是同构的，因此我们可以利用样条GARCH模型的最大似然估计法来估计上述样条MEM模型。具体做法是，我们把$\sqrt{{\mathrm{ILLIQ}}_t}$作为样条GARCH模型中的自变量，假设其均值为零，误差为$\epsilon$，从而用最大似然估计法进行估计（请参见样条GARCH模型的说明文件）。与一般样条GARCH模型的区别在于误差的分布$D$有所不同。V-Lab假设误差序列${\epsilon }_t$服从卡方分布，即$D={{\chi }_{(1)}}^2$，这与方差代理变量和ILLIQ的MEM模型中的假设是一致的（可参见MEM模型的说明文件）。

预测

令${\mathrm{ILLIQ}}_t$为样本中的最后一个观测值，同时用$\hat{\omega },\hat{\alpha },\hat{\beta }$ and ${\hat{\phi }}_1,{\hat{\phi }}_2\mathrm{,...,}{\hat{\phi }}_k$表示模型参数$\omega ,\alpha ,\beta$ and ${\phi }_1,{\phi }_2\mathrm{,...,}{\phi }_k$的最大似然估计值。为进行样本外预测，我们需要外推模型中的样条。仅利用最后一个样本内观测值进行外推，我们便可以得到理想的结果。则V-Lab假设，$\forall h\ge 0$: $${\hat{\tau }}_{T+h}={\hat{\tau }}_T=\exp \left(\sum _{i=1}^k{\phi }_i{\left(T-t_i\right)}^2\right)$$因此在样条MEM模型下，$T+h$时刻ILLIQ的条件均值为： $${\hat{\mu }}_{T+h}{\hat{\tau }}_{T+h}=\left(\hat{\omega }+\left(\hat{\alpha }+\hat{\alpha }\right){\hat{\mu }}_{T+h-1}\right)\exp \left(\sum _{i=1}^k{\phi }_i{\left(T-t_i\right)}^2\right)$$通过对上述公式迭代计算，我们能够对任意时间范围$T+h$内ILLIQ的条件均值进行预测。$h$.