ESR美国利率预测模型

定义

令$R(t,h)$代表到期日为$t$的零息美国国债$t+h$时所对应的利率。在此分析中，V-lab从Gurkaynak， Sack和Wright (2006)的数据中选择下列到期期限（单位：年）：$\tau =\left\{\mathrm{0.5,1,2,3,5,7,10,20,30}\right\}$。$\tau$中的元素记为${\tau }_i$.

首先，我们将所有变量转化为远期利率$f_{i,t}$，其中：$$\begin{array}{lll}{f}_{1,t}& =& R(t,{\tau }_1)\\ f_{i,t}& =& \frac{{\tau }_{i}R(t,h_i)-{\tau }_{i-1}R(t,{\tau }_{i-1})}{{\tau }_i-{\tau }_{i-1}},\forall i⩾2& \end{array}$$为了满足利率的零下线限制，我们对低于阈值$\overline{f}$: $$\begin{array}{ll}{Y}_{i,t}=[(\overline{f}-c)\log \left(\frac{f_{i,t}-c}{\overline{f}-c}\right)+\overline{f}]\{f_{i,t}<\overline{f}\}+\{f_{i,t}⩾\overline{f}\}{f}_{i,t}& \hfill \text{(1)}\end{array}$$这一特定的变换不仅将取值为${ℝ}_{+}$的远期利率映射到$ℝ$上，同时避免了在远期利率处于高位时压缩波动率，或在远期利率接近于0时使波动率提高太多的不利特征。在实际应用中，我们选择参数值为$\overline{f}=50\text{bps}$及$c=0$，较好地拟合了美国数据中的正利率。

V-lab模型由两部分组成：我们首先计算出长期变换远期利率相对于最短期限的利差$Z_t$，然后针对利差和短期利率分别建模。$$\begin{array}{c}{Z}_t=Y_{2:9,t}-Y_{1,t}\hfill \end{array}$$

模型

立场模型

转换后的利差的时间序列变换服从下列状态空间模型：$$\begin{array}{lll}{F}_t& =& A{F}_{t-1}+{\xi }_t\\ Z_t& =& \mu +\varphi F_t+u_t\end{array}$$利率期限结构的经典模型为三因子模型，这样的因子数足以解释利率期限结构的大部分波动（例如，Nelson和Siegel (1987)或Litterman和Scheinkman (1991))。V-lab的利差模型亦得益于经典模型。我们用Nelson-Siegel方法计算得出三因子使之满足：$$\begin{array}{ll}& F_t={(\varphi \text{'}\varphi )}^{-1}\varphi \text{'}(Z_t-\mu ),\text{where}{\varphi }_i=[1,\exp (-\lambda {\tau }_i),\lambda {\tau }_i\exp (-\lambda {\tau }_i)]\end{array}$$我们假设测量误差服从对角线相关性结构：$$\begin{array}{l}{u}_t=diag\left(\rho \right)u_{t-1}+{\eta }_t.\end{array}$$经过重新排列并改写$H_t^{1/2}{\epsilon }_t={\eta }_t+\varphi {\xi }_t$后，我们得到：$$\begin{array}{l}{Z}_t-diag\left(\rho \right)Z_{t-1}={\mu }^{*}+B{F}_{t-1}+H_t^{1/2}{\epsilon }_t\text{where}{H}_t=D_t{R}_t{D}_t\text{and}{\epsilon }_t\sim 𝒩(0,I)\end{array}$$当$\rho =0$. $\rho$的元素均局限在$\left(\mathrm{0,1}\right)$内，代表一系列准差分参数。我们根据因子模型无法解释的残差自相关性选择$\rho$参数。

$D_t$代表了服从不对称广义条件异方差模型（GJR-GARCH）的方差动态： $$\begin{array}{ll}{D}_{i,t}^2={\omega }_i+({\alpha }_i+{\gamma }_i\{{\epsilon }_{i,t-1}<0\}){\left(D_{i,t-1}{\epsilon }_{i,t-1}\right)}^2+{\beta }_i{D}_{i,t-1}^2.& \hfill \text{(2)}\end{array}$$残差的交叉相关性则服从动态条件方差模型（DCC）： $$\begin{array}{ll}\{\begin{array}{ccc}{Q}_t& =& \overline{\Omega }(1-a_Q-b_Q)+a_Q\cdot {\epsilon }_{t-1}{\epsilon }_{t-1}^T+b_Q\cdot Q_{t-1}\\ R_t& =& \left[diag{\left(Q_t\right)}^{-1/2}\right]Q_t\left[diag{\left(Q_t\right)}^{-1/2}\right]\end{array}& \hfill \text{(3)}\end{array}$$

短期利率模型

令$s_t$代表协方差均一马尔可夫链，其状态空间内的三个状态分别代表了三个货币政策体制，上升（$U$）、保持现状（$S$）和下行（$D$）。从而，转换后的短期利率为： $$\begin{array}{l}{Y}_{1,t}=\{\begin{array}{ccc}b\left(U\right)+Y_{1,t-1}+{\sigma }_t{\zeta }_t& \text{if}& s_t=U\\ b\left(S\right)+a\left(S\right)Y_{1,t-1}+{\sigma }_t{\zeta }_t& \text{if}& s_t=S\\ b\left(D\right)+Y_{1,t-1}+{\sigma }_t{\zeta }_t& \text{if}& s_t=D\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{ll}\text{where}& b\left(U\right)>0,b\left(D\right)<0,b\left(S\right)\in ℝ,\left|a\left(S\right)\right|<1,{\zeta }_t\sim 𝒩\left(\mathrm{0,1}\right).\end{array}$$上述方程中的方差${\sigma }_t^2$由标准GJR-GARCH(1,1)刻画。$$\begin{array}{l}{\sigma }_t^2={\omega }^{\left(\sigma \right)}+({\alpha }^{\left(\sigma \right)}+{\gamma }^{\left(\sigma \right)}\{{\zeta }_{t-1}<0\}){\sigma }_{t-1}^2{\zeta }_{t-1}^2+{\beta }^{\left(\sigma \right)}{\sigma }_{t-1}^2.\end{array}$$

估计

上述利差模型的主要部分是线性的，从而由最小二乘法OLS来估计：其因变量为$Z_t-diag\left(\rho \right)Z_{t-1}$，自变量为$F_{t-1}$。$\rho$的参数值选择包括了两个步骤。我们首先计算出测量误差$Z_t-\varphi F_t$，并对每个序列拟合一元AR(1)模型。在此之后，我们将所有的AR(1)参数集合在向量$\rho$中。从而，对任一$Z_{i,t}$，我们对下列回归方程进行估计：$$\begin{array}{c}{Z}_{i,t}-{\rho }_i{Z}_{i,t-1}={\mu }_i^{*}+B_i{F}_{t-1}+{\eta }_{i,t}.\hfill \end{array}$$方差部分的估计同样包括了两部分。首先，对回归残差项$D_{i,t}^2$用准最大似然估计法（QMLE）估计出条件方差部分${\eta }_{i,t}$。为保证方差的平稳性，参数需满足${\alpha }_i+{\beta }_i+{\gamma }_i/2<1$。其次，我们由${\epsilon }_t$得到${\epsilon }_t=D_t^{-1}{\eta }_t$. $a_Q$, $b_Q$, $\overline{\Omega }$ 序列。再次利用QMLE估计出DCC参数。

在短期利率模型中，我们根据美国联邦基准利率划分货币政策体制。具体而言，当基准利率在$t$时过去三个月内有所上升，并在未来三个月内再次上升时，我们将该时点划分为上升体制；当基准利率在$t$时过去六个月内有所下降，并在未来六个月内再次下降时，我们将该时点划分为下行体制；其他情况均划分为保持现状体制。鉴于体制完全可见，我们用如下方法进行参数估计：

最后，我们对3个残差序列用QMLE估计出相应的GJR-GARCH参数。

预测

在残差服从多元正态分布这一假设下，模拟上述模型十分简单。下述模拟预测步骤针对任一模拟路径、任一日期$t$:

$$\begin{array}{lll}{f}_{i,t}& =& \overline{f}\exp (\frac{Y_{i,t}}{\overline{f}}-1)\{Y_{i,t}<\overline{f}\}+f_{i,t}\{Y_{i,t}>\overline{f}\}\\ R(t,{\tau }_i)& =& \{\begin{array}{c}{f}_{i,t}\text{if}i=1\hfill \\ (1-\frac{{\tau }_{i-1}}{{\tau }_i})f_{i,t}+\frac{{\tau }_{i-1}}{{\tau }_i}R(t,{\tau }_{i-1}),\forall i⩾2\end{array}\end{array}$$V-lab的模拟路径数为1000，模拟期限为5年。在每个模拟日期里，我们用分位数来计算置信区间，并得出每一期限的中位数预测。