常见波动风险分析

概述

全球性的冲击几乎可以即时影响所有金融市场。Engle and Campos-Martins (2023)的全球COVOL模型提供了该类风险的一个度量方法，囊括从地缘政治（Caldara and Iacoviello，2022；Baker, Bloom, and Davis，2016）到气候变化（Campos-Martins and Hendry, 2023）等广泛的领域。COVOL本质上衡量的是不同资产类别对同一波动率冲击的风险暴露，该冲击可能源于不同的事件，如自然灾害、政治行为或者恐怖袭击，但它一定可以影响到所有国家地区、金融市场和行业部门，进而使得全球资产价格同步发生变化。

众所周知，不同资产收益率之间存在协动（co-move）。当资产暴露于共同的风险因子之下时，收益率协动便会发生。若资产收益率是这些共同时变因子的线性组合，那么应该观察到一个关于波动率的因子结构。但是，即便将这些共同因子的影响剔除，不同资产的特质波动率（idiosyncratic volatility）依然相互关联（Herskovic et al., 2016）。由于波动率是可预测的，因此其协动性质最有可能是源于波动率冲击间的相关性。COVOL模型的一个基本原理是，即使标准化残差的波动率在时间序列和横截面上都是正交的，其平方仍有可能是相关的。Engle (1982)的ARCH模型探讨的是时间序列上的特征，而Engle and Campos-Martins (2023) 的COVOL模型讨论的则是横截面的情形，并对已有的特质波动率模型做了拓展（Connor et al., 2006；Ang et al., 2006）。

本文采用数值方法（numerical methods）进行波动率因子乘法建模（multiplicative volatility factors）要相对简便易操作。此外，当具体到某个因子（或者主成分）的分析时，我们提出的乘法分解（multiplicative decomposition）可以得到冲击协方差矩阵的单因子结构。

饶是波动率冲击可以影响到所有投资组合，其中某些资产的敏感性要更强一些。因此，COVOL便可用以确定分散风险的最优组合，以弥补均值-方差分析框架的不足。

COVOL模型

假设资产交易价格反应了所有可获得的信息，因此可以用来度量全球金融风险的一些共同因子。我们基于全球COVOL模型，为不同资产特质波动率间的协动性提供了一种全新的解释。此外，我们还介绍了一种新的波动率乘法分解方法，而非传统的加法分解（additive decomposition）。

扩展的多元GARCH模型

多元波动率模型通常建立在条件均值r_t，和一个随机向量$r_t$的协方差矩阵之上，其中联合标准化残差向量为$e_t$。若条件均值和协方差矩阵被正确识别，则有$$\begin{array}{}\text{(1)}& {𝔼}_{t-1}({𝒆}_t{𝒆}_t^{\prime })=𝕀\end{array}$$

故而，残差向量可以被认为不相关但也不相互独立。本文主要关注的是残差平方向量的协方差矩阵。令$e_t^2$为联合标准化残差的平方向量，$\iota$为单位向量，考虑$$\begin{array}{}\text{(2)}& {𝔼}_{t-1}[({𝒆}_t^2-𝜾)({𝒆}_t^2-𝜾{)}^{\prime }]\equiv {\mathrm{\Psi }}_t\end{array}$$若$e$相互独立，则$\Psi$ 是一个对角矩阵。若残差服从高斯分布，则$\mathrm{\Psi }=2𝕀$.

上述对多元GARCH模型的拓展非常重要，因为可以用来解释为何不同资产的波动率同时达峰。如果$\mathrm{\Psi }$有非对角元素，则说明不同资产受到了同步的波动率冲击。若非如此，模型意味着某个资产的波动率先上升，尔后蔓延至其他资产。

定价因子

在标准资产定价模型中，收益率向量${𝒓}_t\equiv (r_{1t},\dots ,r_{Nt}{)}^{\prime }$可以表述成$$\begin{array}{lrlr}\text{(3)}& & {𝒇}_t& ={𝒘}_{t-1}^{\prime }{𝒓}_t& & {𝒓}_t& =r^f+𝜷{𝒇}_t+𝖽𝗂𝖺𝗀\left\{\sqrt{{𝒉}_t^i}\right\}{𝒆}_t^i,& \end{array}$$其中$𝜷$是一个N×N的风险暴露系数矩阵，${𝒇}_t$是K×1的因子向量，${𝒆}_t^i\equiv (e_{1t}^i,\dots ,e_{Nt}^i{)}^{\prime }$是残差向量，${𝒉}_t^i\equiv (h_{1t}^i,\dots ,h_{Nt}^i{)}^{\prime }$包含了条件方差（conditional variances）。

如果上述因子模型被正确识别，并且这些因子可以解释所有横截面收益率的相关性，那么${𝒆}_t^i$为不同资产的特质收益率（idiosyncratic returns），${𝒉}_t^i$为其特质的条件方差。由标准化残差${𝒆}_t^i$的假设可知，其在时间序列和横截面上都是不相关的，且方差为1。因此，若模型中的风险因子足够将同步相关性削减为0，则$$\begin{array}{}\text{(4)}& & {𝔼}_{t-1}\left({𝒆}_t^i{𝒆}_t^{i\prime }\right)=𝕀& \end{array}$$而这些因子作为收益率的线性组合，其条件波动率和残差将满足$$\begin{array}{}\text{(5)}& & {𝔼}_{t-1}({𝒇}_t)\equiv {𝝁}^f,{𝔼}_{t-1}[({𝒇}_t-{𝝁}^f)({𝒇}_t-{𝝁}^f{)}^{\prime }]\equiv H_t^f,{𝒆}_t^f=(H_t^f{)}^{1⁄2}({𝒇}_t-{𝝁}^f)& \end{array}$$假设因子可以通过旋转以正交化，于是$H^f$成为一个对角矩阵，同时其残差项也不再相关。进一步地，因子残差项与收益率的特质残差项（idiosyncratic residuals）也不相关，即$$\begin{array}{}\text{(6)}& & {𝔼}_{t-1}\left({𝒆}_t^f{𝒆}_t^{f\prime }\right)=𝕀\text{ and }{𝔼}_{t-1}\left({𝒆}_t^f{𝒆}_t^{i\prime }\right)=0& \end{array}$$于是，令${𝒆}_t=({𝒆}_t^{i\prime },{𝒆}_t^{f\prime }{)}^{\prime }$，我们可以得到前文的等式$\text{(1)}$以及$\text{(2)}$。如众多金融学文献中所述，若模型中的定价因子不够多，则特质项是存在相关性的。

统计识别

有充分的证据显示，平方后的收益率联合残差项是正相关的。Engle (1982)的ARCH模型是刻画其在时间序列上的正相关特征，而Engle and Campos-Martins (2023)的COVOL模型度量的则是其在横截面上的正相关性。当一众资产的平方联合残差上涨的时候，COVOL也相应地上升。因此，它可以度量不同资产受到共同波动率冲击的幅度。

为了估计COVOL，我们需要引入一些参数化假设。令COVOL由$\sqrt{x}$表征，$x$是一组潜在变量（latent variables）构成的向量，$𝒔$是定价因子载荷（loadings）组成的向量，满足$$\begin{array}{rl}{𝔼}_{t-1}(x_t)& =1,{𝔼}_{t-1}(x_t-1{)}^2=v_t,x_t>0,t=1,\dots ,T,\\ {𝜺}_t& \sim \text{IIN}(\mathrm{0,1}),\\ s_i& \in [\mathrm{0,1}],i=1,\dots ,N.\end{array}$$令函数$g(s_i,x_t)$刻画了随机变量$e_{it}$的数据生成过程（data generating process），$x_t,s_i$以及${\epsilon }_{it}$$$\begin{array}{}\text{(7)}& & e_{it}=\sqrt{g(s_i,x_t)}{\epsilon }_{it},g(s_i,x_t)\equiv s_i{x}_t+1-s_i,& \end{array}$$该设定意味着$g(s_i,x_t)$是期望值为$1$的非负函数，并且满足等式$\text{(4)}$。给定${𝔼}_{t-1}[(e_{i,t}^2-1)(e_{j,t}^2-1)]\equiv {\mathrm{\Psi }}_{ij,t}=s_i{s}_j{v}_t$以及${𝔼}_{t-1}[(e_{i,t}^2-1{)}^2]\equiv {\mathrm{\Psi }}_{ii,t}=3s_i^2{v}_t+2$样本协方差矩阵（ covariance matrix ）可以表述成$t$$$\begin{array}{}\text{(8)}& & \mathrm{\Psi }=(1⁄T)𝔼\left[\sum _{t=1}^T{𝒆}_t^2{𝒆}_t^{2\prime }\right]=(1⁄T)\sum _{t=1}^T{\mathrm{\Psi }}_t=𝒔{𝒔}^{\prime }\bar{v}+D,& \end{array}$$其中$D=𝖽𝗂𝖺𝗀\{3s_i^2\bar{v}+2\}$, $\bar{v}=(1⁄T)\sum _{t=1}^T{v}_t$。显然，若$\mathrm{\Psi }$是因子向量，$x$为其风险载荷，则$𝒔$是一个因子矩阵。因此，我们可以通过对$\mathrm{\Psi }$主成分分析得到$𝒔$以及$x$.

似然估计

上述模型的对数似然函数（log-likelihood function）为$$\begin{array}{}\text{(9)}& & L(𝒔,x;𝒆)=-(1⁄2)\sum _{i=1,t=1}^{N,T}\{\log [g(s_i,x_t)]+{\displaystyle \frac{e_{it}^2}{g(s_i,x_t)}}\}.& \end{array}$$其最大化的一阶条件为$$\begin{array}{}\text{(10)}& & {\displaystyle \frac{\partial L(𝒔,x;𝒆)}{\partial s_i}}=0,{\displaystyle \frac{\partial L(𝒔,x;𝒆)}{\partial x_t}}=0& \end{array}$$

对应的异方差关系（ heteroscedasticity relationships）为$$\begin{array}{lrlr}\text{(11)}& & \text{Cross section: }{e}_{it}& ={\epsilon }_{it}\sqrt{{\hat{s}}_i(x_t-1)+1}\text{ for }t=1,\dots ,T,& & \text{Time series: }{e}_{it}& ={\epsilon }_{it}\sqrt{s_i({\hat{x}}_t-1)+1}\text{ for }i=1,\dots ,N.& \end{array}$$该似然函数的迭代估计算法可以参见$\text{𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛-𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛}$。参数初始值可以通过对矩阵$\mathrm{\Psi }$的主成分分析确定，Trzcinka (1986), Connor and Korajczyk (1993) 以及Jones (2001) 讨论了单因子模型的情形。一般而言，经过15到30次迭代后便会达到收敛要求。在每次迭代中，$s_i,i=1,\dots ,N$以及$x_t,t=1,\dots ,T$都被限制在区间$[\mathrm{0,1}]$中。此外，我们还要求${\bar{x}}_t=(1⁄T)\sum _{t=1}^T{x}_t=1$以及${𝒔}^{\prime }𝒔=1$。最终，可以通过Campos-Martins (2021)开发的R程序包$\text{𝑔𝑒𝑜𝑣𝑜𝑙}$来估计COVOL。

假设检验

COVOL的实证证据可以通过对样本协方差矩阵${𝒆}_t^2$的分析来获得。其零假设是等式${𝒆}_t$所述的$\text{(4)}$无相关性。类似地，在正态分布设定下，${𝒆}_t^2$时等式$\text{(8)}$意味着$\bar{v}=0$$$\begin{array}{}\text{(12)}& & {ℍ}_0:\mathrm{\Psi }=2𝕀& \end{array}$$

在因子模型下，当所有资产对都遭受相同冲击时，其相关性也是相同的。于是，零假设下其等相关系数（equicorrelation），${\rho }_{{𝒆}^2}$，为0；而在备选假设下，${ℍ}_1:\bar{v}>0⟹{\rho }_{{𝒆}^2}>0$

此时，时变的全球波动率因子将导致不同资产波动性的协动性，及其平方收益率残差出现正相关性。对于$N(N-1)⁄2$个相关系数，检验统计量为$$\begin{array}{}\text{(13)}& & \xi ={\displaystyle \frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{NT}{(N-1)⁄2}}}{\sum }_{i>j,j=1}^N{\sum }_{t=1}^T(e_{it}^2-1)(e_{jt}^2-1)}{{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{t=1}^T(e_{it}^2-1{)}^2}}\stackrel{d}{\to }N(\mathrm{0,1})\text{ under }{ℍ}_0.& \end{array}$$

其在有限样本下的特征可以通过Monte Carlo模拟获得，请参阅Engle and Campos-Martins (2023)以获得更多讨论。该检验同样可以通过Campos-Martins (2021) 开发的R程序包$\text{𝑔𝑒𝑜𝑣𝑜𝑙}$来完成。