GJR-DECO模型

DCC 架构对于相关性是很有用的建模工具。但是当测试资产的数量很大时，模型估计会变得不可靠，甚至崩溃。相关性模型的DECO类是用来克服其中的一些计算困难。因此，我们可以针对多个收益率时间序列制订DECO模型的文档。

定义

考虑一个包括 $N$ 个不同资产收益率序列$r_t=\left[r_{1\mathrm{,t}},...,r_{N\mathrm{,t}}\right]$ 的向量，其中所有序列为贬低的时间序列。另外，我们定义所有收益率时间序列的条件协方差矩阵为${𝔼}_{t-1}\left[r_t{r}_t^{\prime }\right]=H_t$。进而，我们能够将 $H_t$ 分解为以下部分：$$H_t=D_t{R}_t{D}_t$$其中当 $D_t=\mathrm{diag}\left({\sigma }_{i,t}\right)$， $i=\left(1,2\right)$ 。这里 ${\sigma }_{i,t}$ 是收益率序列 $i$ 的条件波动率，并且是 $i$ 的对角线上的第 $H_t$ 个值。最后， $R_t$ 是两个收益率序列的条件相关性矩阵。GJR-DECO 模型对分别对 $D_t$ 和 $R_t$ 的演变提出了具体的参数假设。

条件方差

每一个单独的收益率时间序列的条件方差被建模为一个标准的GJR-GARCH过程。即，我们假设： $${𝔼}_{t-1}\left[r_{\mathrm{i,t}}^2\right]={\sigma }_{\mathrm{i,t}}^2$$$${\sigma }_t^2=\omega +\left(\alpha +\gamma I_{t-1}\right){\epsilon }_{t-1}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2$$基于一个标准的GJR-GARCH模型，我们能够在拟合了单变量GJR-GARCH模型后计算每一个收益率序列的残差。通常，这些被定义为：$${\epsilon }_{\mathrm{i,t}}=\frac{r_{\mathrm{i,t}}}{{\sigma }_{\mathrm{i,t}}}$$重要的是，波动率残差向量 ${\epsilon }_t={\left[{\epsilon }_{1\mathrm{,t}},...,{\epsilon }_{N\mathrm{,t}}\right]}^{\prime }$ 将会拥有和原来两个收益率序列的相同的相关性结构。现在我们来模拟这种相关性结构。

条件相关

DECO 模型假设条件相关矩阵 $R_t$ 存在一个特定的参数形式。更具体地，在给定日期，DECO 模型假设所有一堆资产收益率间的相关性是相同的。事实证明，尽管这个限制条件看似非常严格，DECO 模型能够在资产数量非常大时提供一致的参数估计。因此，我们定义相关矩阵 $R_t$ 为一个同相关性矩阵，并且演变为：$$R_t=\left(1-{\rho }_t\right)I_N+{\rho }_t{J}_N$$$${\rho }_t=\frac{2}{N\left(N-1\right)}\sum _{i>\mathrm{j}}\frac{q_{\mathrm{i,j,t}}}{\sqrt{q_{\mathrm{i,i,t}}{q}_{\mathrm{j,j,t}}}}$$$$q_{\mathrm{i,j,t}}={\overline{\rho }}_{\mathrm{i,j}}+{\alpha }_{\mathrm{DECO}}\left({\epsilon }_{\mathrm{i,t-1}}{\epsilon }_{\mathrm{j,t-1}}-{\overline{\rho }}_{\mathrm{i,j}}\right)+{\beta }_{\mathrm{DECO}}\left(q_{\mathrm{i,j,t-1}}-{\overline{\rho }}_{\mathrm{i,j}}\right)$$其中 ${\overline{\rho }}_{\mathrm{i,j}}$ 是 ${\epsilon }_{\mathrm{i,t}}$ 和 ${\epsilon }_{\mathrm{j,t-1}}$ 之间的非条件相关关系。通过模拟单变量收益率序列作为单独的GJR-GARCH过程，并且模拟其标准化的残差序列作为DECO过程，我们形成了完整的GJR-DECO模型设定。

估计

V-Lab通过最大似然法估计GJR-DECO模型的参数 $\left({\omega }_{i=\mathrm{1,2}},{\alpha }_{i=\mathrm{1,2}},{\gamma }_{i=\mathrm{1,2}},{\beta }_{i=\mathrm{1,2}},{\alpha }_{\mathrm{DECO}},{\beta }_{\mathrm{DECO}}\right)$ 。为了能够使用最大似然法，我们假设堆叠收益率时间序列 $r_t={\left[r_{1\mathrm{,t}},r_{2\mathrm{,t}}\right]}^{\prime }$ 是多元正态分布，其条件协方差 $H_t$ 如上文所定义。具体地， $r_t\sim N\left(0,H_t\right)$ 引出了对似然函数的自然定义。可以证明，这个似然方程可以被分解为一个波动率分量和一个相关性分量，又自然引出了两步估计法。第一步，我们估计每一个收益率序列的单变量GJR-GARCH模型。第二步，利用堆叠残差序列 ${\epsilon }_t={\left[{\epsilon }_{1\mathrm{,t}},{\epsilon }_{2\mathrm{,t}}\right]}^{\prime }=D_t^{-1}{r}_t$，我们通过最大化下面的公式来估计相关性参数 ${\alpha }_{\mathrm{DECO}}$ 和 ${\beta }_{\mathrm{DECO}}$：$$L_c\left({\alpha }_{\mathrm{DECO}},{\beta }_{\mathrm{DECO}}\right)=-\frac{1}{2}\sum _t\left(log\left|R_t\right|+{\epsilon }_t^{\prime }{R}_t^{-1}{\epsilon }_t-{\epsilon }_t^{\prime }{\epsilon }_t^{\prime }\right)$$在合理的条件下，我们发现这个两步估计法能够提供对波动率参数和DECO参数的一致性估计。如上文所说，当真实的相关性按照DCC系统进行演变时，被估计参数 ${\alpha }_{\mathrm{DECO}}$, ${\beta }_{\mathrm{DECO}}$ 能够提供一致的估计，并且计算成本更小。

同GARCH一样，只要 ${\rho }_t$，单个相关关系 ${\alpha }_{\mathrm{DECO}}>0$, ${\beta }_{\mathrm{DECO}}>0$, ${\alpha }_{\mathrm{DECO}}+{\beta }_{\mathrm{DECO}}<1$。对于用来模拟单个收益率序列的波动率的单变量GARCH模型，其标准限制条件和特征通常是自然满足的。