定义

考虑$n$ 个资产收益率的时间序列，并且假设资产收益率序列不相关。 因而我们能够定义一组均值为零的白噪声 ${\epsilon }_t=r_t-\mu$，其中 $r_t$ 是$n⨯1$ 的收益率矩阵， $\mu$ 是期望收益率的矩阵。

尽管资产收益率是序列不相关的，其可能呈现同期相关性。即： $${\sum }_t≔{𝔼}_{t-1}\left[\left(r_t-\mu \right){\left(r_t-\mu \right)}^{\text{'}}\right]$$有可能不是一个对角矩阵。另外，contemporaneous variance 会随时间变化，取决于过去的信息。 指数加权移动平均协方差模型 ($\mathrm{EWMA}$) 假设条件协方差的参数存在某种特殊形式。 更具体地说，我们认为 $r_t-\mu ~\mathrm{EWMA}\left(\lambda \right)$ 如果满足：$${\sum }_{t+1}=\left(1-\lambda \right)\left(r_t-\mu \right){\left(r_t-\mu \right)}^{\text{'}}+\lambda {\sum }_t$$V-Lab 使用$\lambda =0.94$, the parameter suggested by RiskMetrics for daily returns, and $\mu$是样本中资产收益率的平均值。is the sample average of the returns.

相关性

注意矩阵对角线上的元素 ${\sum }_t$为收益率的条件方差，即 ${\sum }_t^{i,i}$ 是 $r_t^i$的条件方差。类似地，对角线外的元素为条件协方差， 即 ${\sum }_t^{i,j}$ $r_t^i$ 和 $r_t^j$ 之间的协方差。 因此，我们能够很容易地得到条件相关性：$${\text{Γ}}_t^{i,j}≔\frac{{\sum }_t^{i,j}}{\sqrt{{\sum }_t^{i,i}{\sum }_t^{j,j}}}$$V-Lab提供了上述公式的图表。

更精确地，我们把整个相关性矩阵定义为：$${\text{Γ}}_t≔D_t^{-1}{\sum }_t{D}_t^{-1}$$其中 $D_t$ 是一个矩阵 $\forall i,j\in \left\{1,...,n\right\}$满足:$$D_t^{i,j}≔{\delta }_{i,j}\sqrt{{\sum }_t^{i,j}}$$其中 ${\delta }_{i,j}$ 是Kronecker delta，即 ${\delta }_{i,j}=1$ 如果 $i=j$ 或者 ${\delta }_{i,j}=0$ 。 那么 $D_t$ 矩阵对角线外的元素全部为零， 对角线上的元素为条件波动率，等于 ${\sum }_t$矩阵对角线上元素的平方根。

因此，${\text{Γ}}_t^{i,j}$ 是 $r_t^i$ 和 $r_t^j$直接的条件协方差。注意到 ${\text{Γ}}_t^{i,j}=1$, $\forall i\in \left\{1,...,n\right\}$.

与GARCH(1,1) 模型的关系

注意 $\mathrm{EWMA}$ 模型实际上是 $\mathrm{IGARCH}\left(1,1\right)$ 模型的多变量版本，而 $\mathrm{IGARCH}\left(1,1\right)$ 模型是 $\mathrm{GARCH}\left(1,1\right)$ 模型的一个特殊情况。

因此通过对条件方差的公式进行迭代计算，我们能够得到，如果 $\lambda \in \left(0,1\right)$:$$\begin{array}{rcl}\hfill {\sum }_{t+1}& \hfill =\hfill & \left(1-\lambda \right){\epsilon }_t{\epsilon }_t^{\text{'}}+\lambda \left(1-\lambda \right){\epsilon }_{t-1}{\epsilon }_{t-1}^{\text{'}}+{\lambda }^2\left(1-\lambda \right){\epsilon }_{t-2}{\epsilon }_{t-2}^{\text{'}}+...\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \left(1-\lambda \right)\left({\epsilon }_t{\epsilon }_t^{\text{'}}+\lambda {\epsilon }_{t-1}{\epsilon }_{t-1}^{\text{'}}+{\lambda }^2{\epsilon }_{t-2}{\epsilon }_{t-2}^{\text{'}}+...\right)\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{{\epsilon }_t{\epsilon }_t^{\text{'}}+\lambda {\epsilon }_{t-1}{\epsilon }_{t-1}^{\text{'}}+{\lambda }^2{\epsilon }_{t-2}{\epsilon }_{t-2}^{\text{'}}+...}{\frac{1}{1-\lambda }}\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{{\epsilon }_t{\epsilon }_t^{\text{'}}+\lambda {\epsilon }_{t-1}{\epsilon }_{t-1}^{\text{'}}+{\lambda }^2{\epsilon }_{t-2}{\epsilon }_{t-2}^{\text{'}}+...}{1+\lambda +{\lambda }^2+...}\hfill \end{array}$$此结果是一个加权平均值，其中权重按照速率 $\lambda$ 指数减小。 正如这个模型的名字所描述：指数加权移动平均。