动机

相关性是很多金融管理任务的关键信息。对冲操作需要各资产收益率的相关性。 如果相关性和波动率在变化，对冲比率也需要针对性调整。类似地，结构性产品， 比如说有多个标资产的彩虹期权，它的价格就对标的资产的相关性非常敏感。 相关性和波动率预测是所有定价公式的基础。资产配置和风险评估也依赖于相关性。 但是在这种情况下，需要大量的相关性计算。一定约束下的最优投资组合的构建也需 要对收益率协方差矩阵进行预测。类似地，今日资产组合标准差的计算也需要组合内 所有资产的协方差矩阵。这个功能使得大型协方差矩阵的估计和预测成为必要， 这个协方差矩阵可能包含成千上万的资产。

定义

考虑 $n$ 收益时间序列并且作出序列不相关的通常假设。 然后我们可以定义一个零均值白噪声数组 ${\epsilon }_t=\mathrm{rt}-\mu$, 其中$\mathrm{rt}$是$n\times 1$收益率数组，$\mu$是期望收益率数

尽管是是序列不相关的，收益率可能会呈现同期相关性。也就是说：$${\sum }_t={{\rm E}}_{t-1}\left[(r_t-\mu ){(r_t-\mu )}^{\prime }\right]$$可能不是对角矩阵。而且，同期方差可能根据过去信息而随时间变化。

注意， ${\sum }_t$ 主对角线上的 元素给出了收益率的条件方差，也就是说，$\sum _t^{\mathrm{i,i}}$是收益率${r_t}^i$的条件方差。 类似地, 主对角线外的元素给出了收益率的条件协方差，也就是说，$\sum _t^{\mathrm{i,j}}$是收益率${r_t}^i$ ${r_t}^j$的条件协方差。因此，我们能容易地得到条件相关性：$$\underset{t}{\overset{\mathrm{i,j}}{\Gamma }}=\frac{\sum _t^{\mathrm{i,j}}}{\sqrt{\sum _t^{\mathrm{i,i}}\sum _t^{\mathrm{j,j}}}}$$

估计

对收益率序列间相关性可靠估计的追求促进了学术界和业界的很多研究。 像历史滚动相关性和指数平滑法这种简单的方法被广泛运用。更复杂的模型，比如多元GARCH的变种， 随机波动率模型也在计量经济学文献中被大量研究，同时也被一些经验丰富业界人士使用。 有很多种方法都可以把单变量波动率模型泛化为多变量模型， 但是维度诅咒很快就成了应用中的主要障碍，因为对于$k$-维收益率序列， 在${\sum }_t$中，有$k(k+1)/2$个数据。举例来说, 对于5-维收益率序列，在${\sum }_t$中，总共有15个条件方差和协方差。 在V-lab, RiskMetrics所用的指数平滑以及少量参数化的多变量GARCH模型都会考虑用来作相 关性分析。

Engle, R. F. 2009. Anticipating Correlations: A New Paradigm for Risk Management. Princeton University Press.

Tsay, R. S. 2010. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sons, Inc.